Dado o sistema .
Responda cada item: Para quais valores de a e o sistema tem Nenhuma solução?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe é sobre sistemas de equações lineares. A gente precisa descobrir para quais valores de a x + b z = 2 a x + a y + 4 z = 4 a y + 2 z = b e o sistema abaixo não tem solução:
Para resolver isso, vamos usar métodos de álgebra linear, como a eliminação de variáveis e análise da consistência do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar o sistema para facilitar a visualização das relações entre as equações. Vamos chamar as equações de (1), (2) e (3):
(1) a x + b z = 2 (2) a x + a y + 4 z = 4 (3) a y + 2 z = b
Passo 3
Vamos eliminar uma variável para reduzir o sistema. Observando as equações (1) e (2), podemos subtrair a equação (1) da equação (2):
(a x + a y + 4 z) - (a x + b z) = 4 - 2
Isso simplifica para:
a y + (4 - b) z = 2 (4)
Agora temos uma nova equação (4):
(4) a y + (4 - b) z = 2
Passo 4
Agora, temos as equações (3) e (4):
(3) a y + 2 z = b (4) a y + (4 - b) z = 2
Vamos subtrair a equa��ão (3) da equação (4):
(a y + (4 - b) z) - (a y + 2 z) = 2 - b
Simplificando:
(4 - b - 2) z = 2 - b
Ou seja:
(2 - b) z = 2 - b
Passo 5
Agora, temos a equação:
(2 - b) z = 2 - b
Vamos analisar dois casos:
Caso 1: z = 1
Nesse caso, podemos dividir ambos os lados por :
Caso 2:
Isso implica que . Vamos ver o que acontece nesse cenário.
Passo 6
Analisando o Caso 1: a y + 2(1) = b implies a y + 2 = b implies a y = b - 2 implies y = b - 2a
Sabemos que a x + b(1) = 2 implies a x + b = 2 implies a x = 2 - b implies x = 2 - ba . Vamos substituir na equação (3):
Agora, substituímos e na equação (1):
Até aqui, tudo está consistente, então o sistema tem solução quando , ou seja, .
Passo 7
Analisando o Caso 2: a y + 2 z = 2
Substituindo a y + (4 - 2) z = 2 implies a y + 2 z = 2 na equação (3):
a y + 2 z = 2
E na equação (4):
a x + 2 z = 2
Ambas as equações (3) e (4) ficam iguais:
a x + a y + 4 z = 4
Vamos verificar a equação (1):
a y = 2 - 2 z
E a equação (2):
a x + (2 - 2 z) + 4 z = 4 implies a x + 2 + 2 z = 4 implies a x + 2 z = 2
Usando a x + 2 z = 2 (1) a y + 2 z = 2 (3) , podemos resolver para :
Substituindo na equação (2):
Agora, temos as equações:
Observamos que as duas equações são independentes, mas falta uma relação entre e . O sistema não está inconsistente, mas depende de e . Portanto, quando , o sistema tem infinitas soluções, não sendo inconsistente.
Resposta
O sistema não tem solução somente quando e . Ou seja, para valores de e , o sistema não possui solução.