Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta por meios de argumentos, esquemas, por verificações ou por contraexemplos. Dadas as matrizes A e B de ordem 2 então .

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a afirmação "Para matrizes e de ordem 2, " é verdadeira ou falsa. Vamos precisar entender como calcular o determinante de uma matriz e aplicar isso para verificar se a igualdade sempre vale.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é a matriz identidade de ordem 2:
Quando somamos com , temos:
onde são os elementos da matriz .

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante de :
Explicando isso:
  • Multiplicamos os elementos da diagonal principal: .
  • Subtraímos o produto dos elementos fora da diagonal: .

Passo 4

Vamos expandir a expressão:
Sabemos que o determinante de é:
Substituindo na expressão anterior:
Então,
onde .

Passo 5

A afirmação diz que . Observando a expressão que encontramos:
Vemos que para que a igualdade seja verdadeira, a trace de deveria ser zero. Mas isso não acontece para todas as matrizes de ordem 2.

Passo 6

Vamos usar um contraexemplo para confirmar que a afirmação é falsa. Seja:
Então:
Calculando os determinantes:
Segundo a afirmação:
Mas . Portanto, a afirmação não é verdadeira para essa matriz.

Resposta

A afirmação é falsa. Por exemplo, para a matriz identidade , temos e , o que mostra que .

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(d) e
Dado o sistema .
Responda cada item: Para quais valores de e o sistema tem Nenhuma solução?
Seja uma base de V.
Demonstre que , com e , é base de .