Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta por meios de argumentos, esquemas, por verificações ou por contraexemplos. Dadas as matrizes A e B de ordem 2 então
.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a afirmação "Para matrizes
e
de ordem 2,
" é verdadeira ou falsa. Vamos precisar entender como calcular o determinante de uma matriz e aplicar isso para verificar se a igualdade sempre vale.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é a matriz identidade de ordem 2:
Quando somamos
com
, temos:
onde
são os elementos da matriz
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante de
:
Explicando isso:
- Multiplicamos os elementos da diagonal principal:
. - Subtraímos o produto dos elementos fora da diagonal:
.
Passo 4
Vamos expandir a expressão:
Sabemos que o determinante de
é:
Substituindo na expressão anterior:
Então,
onde
.
Passo 5
A afirmação diz que
. Observando a expressão que encontramos:
Vemos que para que a igualdade seja verdadeira, a trace de
deveria ser zero. Mas isso não acontece para todas as matrizes de ordem 2.
Passo 6
Vamos usar um contraexemplo para confirmar que a afirmação é falsa. Seja:
Então:
Calculando os determinantes:
Segundo a afirmação:
Mas
. Portanto, a afirmação não é verdadeira para essa matriz.
Resposta
A afirmação é falsa. Por exemplo, para a matriz identidade
, temos
e
, o que mostra que
.