Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta por meios de argumentos, esquemas, por verificações ou por contraexemplos. Dadas as matrizes A e B de ordem 2 então .
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a afirmação "Para matrizes e de ordem 2, " é verdadeira ou falsa. Vamos precisar entender como calcular o determinante de uma matriz e aplicar isso para verificar se a igualdade sempre vale.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que é a matriz identidade de ordem 2:
Quando somamos com , temos:
onde são os elementos da matriz .
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante de :
Explicando isso:
Multiplicamos os elementos da diagonal principal: .
Subtraímos o produto dos elementos fora da diagonal: .
Passo 4
Vamos expandir a expressão:
Sabemos que o determinante de é:
Substituindo na expressão anterior:
Então,
onde .
Passo 5
A afirmação diz que . Observando a expressão que encontramos:
Vemos que para que a igualdade seja verdadeira, a trace de deveria ser zero. Mas isso não acontece para todas as matrizes de ordem 2.
Passo 6
Vamos usar um contraexemplo para confirmar que a afirmação é falsa. Seja:
Então:
Calculando os determinantes:
Segundo a afirmação:
Mas . Portanto, a afirmação não é verdadeira para essa matriz.
Resposta
A afirmação é falsa. Por exemplo, para a matriz identidade , temos e , o que mostra que .