Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta por meios de argumentos, esquemas, por verificações ou por contraexemplos. Dadas as matrizes A e B de ordem 2 então det(I2+A)=1+det A.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a afirmação "Para matrizes e de ordem 2, " é verdadeira ou falsa. Vamos precisar entender como calcular o determinante de uma matriz e aplicar isso para verificar se a igualdade sempre vale.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que I2 = 1 & 0 0 & 1 é a matriz identidade de ordem 2:
I2 + A = 1 + a11 & a12 a21 & 1 + a22
Quando somamos com , temos:
onde são os elementos da matriz .

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante de det(I2 + A) = (1 + a11)(1 + a22) - a12a21 :
Explicando isso:
  • Multiplicamos os elementos da diagonal principal: .
  • Subtraímos o produto dos elementos fora da diagonal: .

Passo 4

Vamos expandir a expressão:
det(I2 + A) = 1 + a11 + a22 + a11a22 - a12a21
Sabemos que o determinante de det A = a11a22 - a12a21 é:
det(I2 + A) = 1 + a11 + a22 + det A
Substituindo na expressão anterior:
det(I2 + A) = 1 + det A + trace(A)
Então,
onde .

Passo 5

A afirmação diz que det(I2 + A) = 1 + det A + trace(A) . Observando a expressão que encontramos:
Vemos que para que a igualdade seja verdadeira, a trace de deveria ser zero. Mas isso não acontece para todas as matrizes de ordem 2.

Passo 6

Vamos usar um contraexemplo para confirmar que a afirmação é falsa. Seja:
A = 1 & 0 0 & 1
Então:
I2 + A = 2 & 0 0 & 2
Calculando os determinantes:
det(I2 + A) = 2 times 2 - 0 times 0 = 4
det A = 1 times 1 - 0 times 0 = 1
Segundo a afirmação:
1 + det A = 1 + 1 = 2
Mas . Portanto, a afirmação não é verdadeira para essa matriz.

Resposta

A afirmação é falsa. Por exemplo, para a matriz identidade , temos e , o que mostra que .

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