Seja B=(u1, u2, u3) uma base de V.
Demonstre que C=(v1, v2, v3), com v1=u1+2 u2+u3, v2=u1-u2-u3 e v3= 2 u1+u2+4 u3, é base de V.

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício nos dá uma base de um espaço vetorial e uma nova coleção de vetores , onde cada é uma combinação linear dos . Nosso objetivo é mostrar que também é uma base de . Para isso, precisamos lembrar que uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram o espaço . Vamos precisar usar conceitos de combinação linear, matriz de mudança de base e determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os vetores da coleção v1 = u1 + 2u2 + u3 v2 = u1 - u2 - u3 v3 = 2u1 + u2 + 4u3 em termos da base :
Isso nos permite construir uma matriz que representa como os vetores de são expressos em termos de .

Passo 3

Vamos construir a matriz M = 1 & 1 & 2 2 & -1 & 1 1 & -1 & 4 cujas colunas são as coordenadas dos vetores em relação à base :
Cada coluna de representa um vetor de em termos de .

Passo 4

Para determinar se é uma base de , precisamos verificar se os vetores em são linearmente independentes. Uma maneira eficiente de fazer isso é calcular o determinante da matriz . Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, é uma base.

Passo 5

Vamos calcular o determinante de det(M) = 1 cdot (-1 cdot 4 - 1 cdot (-1)) - 1 cdot (2 cdot 4 - 1 cdot 1) + 2 cdot (2 cdot (-1) - (-1) cdot 1) :
det(M) = 1 cdot (-4 + 1) - 1 cdot (8 - 1) + 2 cdot (-2 + 1)
Simplificando cada parte:
det(M) = 1 cdot (-3) - 1 cdot 7 + 2 cdot (-1)
det(M) = -3 - 7 - 2 = -12

Passo 6

Como o determinante é diferente de zero, isso significa que a matriz é invertível. Consequentemente, os vetores são linearmente independentes e, portanto, a coleção é uma base de .

Resposta

A coleção é uma base de .

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