Seja uma base de V.
Demonstre que , com e , é base de .
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício nos dá uma base de um espaço vetorial e uma nova coleção de vetores , onde cada é uma combinação linear dos . Nosso objetivo é mostrar que também é uma base de . Para isso, precisamos lembrar que uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram o espaço . Vamos precisar usar conceitos de combinação linear, matriz de mudança de base e determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever os vetores da coleção em termos da base :
Isso nos permite construir uma matriz que representa como os vetores de são expressos em termos de .
Passo 3
Vamos construir a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores em relação à base :
Cada coluna de representa um vetor de em termos de .
Passo 4
Para determinar se é uma base de , precisamos verificar se os vetores em são linearmente independentes. Uma maneira eficiente de fazer isso é calcular o determinante da matriz . Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, é uma base.
Passo 5
Vamos calcular o determinante de :
Simplificando cada parte:
Passo 6
Como o determinante é diferente de zero, isso significa que a matriz é invertível. Consequentemente, os vetores são linearmente independentes e, portanto, a coleção é uma base de .