Provar que todo subconjunto de um espaço vetorial
sobre um corpo
, na condição de L.I., não pode conter o vetor nulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que, em qualquer espaço vetorial
sobre um corpo
, se um subconjunto é linearmente independente (L.I.), ele não pode ter o vetor nulo
. Vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre independência linear e propriedades dos vetores no espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é L.I. se a única combinação linear que resulta no vetor nulo é quando todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se temos
, então necessariamente
.
Passo 3
Agora, vamos supor que nosso subconjunto
contém o vetor nulo
. Ou seja,
.
Passo 4
Vamos aplicar a definição de independência linear a esse conjunto. Considerando que
está em
, podemos escrever a combinação linear:
Aqui, usamos o coeficiente
para o vetor
, que não é zero.
Passo 5
Segundo a definição de L.I., a única combinação linear que resulta em
deve ter todos os coeficientes iguais a zero. Mas no nosso caso, o coeficiente do vetor nulo é
, que não é zero.
Passo 6
Isso significa que existe uma combinação linear não trivial (com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulta no vetor nulo, o que contraria a definição de conjunto linearmente independente.
Resposta
Portanto, todo subconjunto linearmente independente de um espaço vetorial
não pode conter o vetor nulo
.