Provar que todo subconjunto de um espaço vetorial sobre um corpo , na condição de L.I., não pode conter o vetor nulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que, em qualquer espaço vetorial sobre um corpo , se um subconjunto é linearmente independente (L.I.), ele não pode ter o vetor nulo . Vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre independência linear e propriedades dos vetores no espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é L.I. se a única combinação linear que resulta no vetor nulo é quando todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se temos , então necessariamente .

Passo 3

Agora, vamos supor que nosso subconjunto contém o vetor nulo . Ou seja, .

Passo 4

Vamos aplicar a definição de independência linear a esse conjunto. Considerando que está em , podemos escrever a combinação linear:
Aqui, usamos o coeficiente para o vetor , que não é zero.

Passo 5

Segundo a definição de L.I., a única combinação linear que resulta em deve ter todos os coeficientes iguais a zero. Mas no nosso caso, o coeficiente do vetor nulo é , que não é zero.

Passo 6

Isso significa que existe uma combinação linear não trivial (com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulta no vetor nulo, o que contraria a definição de conjunto linearmente independente.

Resposta

Portanto, todo subconjunto linearmente independente de um espaço vetorial não pode conter o vetor nulo .

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