Determine uma equação do lugar geométrico dos pontos que equidistam dos pontos A=(1,3) e B=(5,1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma equação que descreva todos os pontos que estão à mesma distância dos pontos e . Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente o lugar geométrico dos pontos equidistantes a dois pontos dados.

Passo 2

Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano. A fórmula para a distância entre um ponto d = raiz(x - xA)^2 + (y - yA)^2 e um ponto fixo é:

Passo 3

Aplicando a fórmula da distância para os pontos dA = raiz(x - 1)^2 + (y - 3)^2 e dB = raiz(x - 5)^2 + (y - 1)^2 , temos:

Passo 4

Como queremos que os pontos raiz(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = raiz(x - 5)^2 + (y - 1)^2 sejam equidistantes de e , igualamos as duas distâncias:

Passo 5

Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes quadradas:
(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = (x - 5)^2 + (y - 1)^2

Passo 6

Expandindo os termos:
(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 6y + 9) = (x^2 - 10x + 25) + (y^2 - 2y + 1)

Passo 7

Simplificando os termos semelhantes:
x^2 - 2x + 1 + y^2 - 6y + 9 = x^2 - 10x + 25 + y^2 - 2y + 1

Passo 8

Cancelando -2x + 10 + -6y = -10x + 26 - 2y e de ambos os lados:

Passo 9

Reorganizando os termos para isolar 8x - 4y = 16 e :

Passo 10

Dividindo todos os termos por 4 para simplificar a equação:
2x - y = 4

Resposta

A equação do lugar geométrico dos pontos que equidistam de 2x - y = 4 e é:

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