(PUC-SP) A cônica representada pela equação
é:
a) parábola
b) hipérbole
c) elipse
a) parábola
b) hipérbole
c) elipse
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação que representa uma cônica:
. Nosso objetivo é descobrir se essa cônica é uma parábola, hipérbole ou elipse. Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria analítica sobre as cônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma mais organizada. Observa que temos termos com
,
,
e constantes. Vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 3
Agora, vamos tentar completar o quadrado para os termos que envolvem
. Primeiro, vamos isolar os termos com
:
Passo 4
Vamos fatorar o coeficiente de
, que é
:
Passo 5
Para completar o quadrado dentro dos parênteses, pegamos o coeficiente de
, que é
, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro dos parênteses:
Passo 6
Distribuindo o
:
Agora, vamos mover o 4 para o outro lado:
Passo 7
Dividindo toda a equação por
para simplificar:
Agora, rearranjando:
Multiplicando por
para facilitar a identificação:
Passo 8
Essa é a forma padrão de uma hipérbole, que geralmente se apresenta como:
Comparando com a nossa equação, vemos que temos a mesma estrutura.
Resposta
A cônica representada pela equação
é uma hipérbole. Alternativa b).