(PUC-SP) A cônica representada pela equação 3 x^2-4 y^2+8 y-16=0 é:
a) parábola
b) hipérbole
c) elipse

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação que representa uma cônica: . Nosso objetivo é descobrir se essa cônica é uma parábola, hipérbole ou elipse. Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria analítica sobre as cônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma mais organizada. Observa que temos termos com 3x^2 - 4y^2 + 8y - 16 = 0, , e constantes. Vamos agrupar os termos semelhantes:

Passo 3

Agora, vamos tentar completar o quadrado para os termos que envolvem -4y^2 + 8y = -3x^2 + 16. Primeiro, vamos isolar os termos com :

Passo 4

Vamos fatorar o coeficiente de -4(y^2 - 2y) = -3x^2 + 16, que é :

Passo 5

Para completar o quadrado dentro dos parênteses, pegamos o coeficiente de (-22)^2 = 1, que é -4(y^2 - 2y + 1 - 1) = -3x^2 + 16, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
-4((y - 1)^2 - 1) = -3x^2 + 16
Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro dos parênteses:

Passo 6

Distribuindo o -4(y - 1)^2 + 4 = -3x^2 + 16:
-4(y - 1)^2 = -3x^2 + 12
Agora, vamos mover o 4 para o outro lado:

Passo 7

Dividindo toda a equação por (y - 1)^2 = 34x^2 - 3 para simplificar:
(y - 1)^23 - x^24 = -1
Agora, rearranjando:
x^24 - (y - 1)^23 = 1
Multiplicando por para facilitar a identificação:

Passo 8

Essa é a forma padrão de uma hipérbole, que geralmente se apresenta como:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
Comparando com a nossa equação, vemos que temos a mesma estrutura.

Resposta

A cônica representada pela equação é uma hipérbole. Alternativa b).

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