Demonstrar, sem desenvolver, que o determinante D a seguir é nulo, sabendo-se que a+b+c+d=0 :
D=|lllla & b & c & d b & c & d & a c & d & a & b d & a & b & c|

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um determinante D de uma matriz 4 times 4 com elementos a, b, c e d dispostos de forma cíclica. Sabemos que a + b + c + d = 0. Para resolver, vamos usar conceitos de propriedades de determinantes e linearidade das colunas.

Passo 2

Observamos que a soma das colunas da matriz D resulta em um vetor nulo, já que a + b + c + d = 0. Isso significa que as colunas são linearmente dependentes.

Passo 3

Quando as colunas de uma matriz são linearmente dependentes, o determinante dessa matriz é igual a zero. Isso é uma propriedade fundamental dos determinantes.

Passo 4

Portanto, já que as colunas de D são dependentes devido à condição a + b + c + d = 0, podemos concluir que o determinante D é nulo.

Resposta

O determinante D é igual a zero.

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