Dado o sistema :
c) Resolva o sistema e verifique que toda
Passo 1
Beleza! Vamos lá: o exercício nos dá um sistema de equações lineares com duas equações e três incógnitas (, , ). A matéria envolvida aqui é álgebra linear, especificamente a resolução de sistemas lineares e a representação das soluções em termos de vetores. Para resolver esse sistema, vamos precisar usar o método de eliminação ou substituição para encontrar as relações entre as variáveis e, finalmente, expressar a solução geral do sistema.
Nosso objetivo é encontrar valores de , e que satisfazem ambas as equações simultaneamente. Como temos mais incógnitas do que equações, esperamos que a solução seja uma linha ou um plano no espaço tridimensional, representado por um vetor livre.
Passo 3
Vamos começar eliminando uma das variáveis para simplificar o sistema. Observando as equações, notamos que o coeficiente de 2x + 12y - 16z = 2 (Equação 3) na Equação 2 é o dobro do coeficiente na Equação 1. Então, podemos multiplicar a Equação 1 por 2 e depois subtrair a Equação 2 para eliminar (2x + 12y - 16z) - (2x + 6y - 4z) = 2 - 0 :
Multiplicando a Equação 1 por 2:
2x + 12y - 16z - 2x - 6y + 4z = 2 çã
Subtraindo a Equação 2 da Equação 3:
6y - 12z = 2
Passo 4
Agora, simplificamos a equação resultante dividindo todos os termos por 2:
3y - 6z = 1 (Equação 4) çã
Essa equação relaciona 3y = 6z + 1 e y = 2z + 13 . Podemos resolver para em termos de :
Passo 5
Agora que temos x + 6y - 8z = 1 em termos de x + 6(2z + 13) - 8z = 1 , podemos expressar x + 12z + 2 - 8z = 1 também em termos de x + 4z + 2 = 1 usando a Equação 1:
x = -4z - 1
Substituindo :
Passo 6
Agora, temos x = -4z - 1 y = 2z + 13 e x = -4lambda - 1 y = 2lambda + 13 z = lambda em termos de :
Como é uma variável livre (pode assumir qualquer valor real), podemos representar a solução do sistema usando um parâmetro , onde . Assim, substituindo:
Passo 7
Podemos escrever a solução em forma de vetor, separando as partes que dependem de X = lambda -4 2 1 + -1 13 0 e as constantes: