Dado o sistema :
c) Resolva o sistema e verifique que toda

Passo 1

Beleza! Vamos lá: o exercício nos dá um sistema de equações lineares com duas equações e três incógnitas ( , , ). A matéria envolvida aqui é álgebra linear, especificamente a resolução de sistemas lineares e a representação das soluções em termos de vetores. Para resolver esse sistema, vamos precisar usar o método de eliminação ou substituição para encontrar as relações entre as variáveis e, finalmente, expressar a solução geral do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar o sistema que temos:
çãçã
Nosso objetivo é encontrar valores de , e que satisfazem ambas as equações simultaneamente. Como temos mais incógnitas do que equações, esperamos que a solução seja uma linha ou um plano no espaço tridimensional, representado por um vetor livre.

Passo 3

Vamos começar eliminando uma das variáveis para simplificar o sistema. Observando as equações, notamos que o coeficiente de na Equação 2 é o dobro do coeficiente na Equação 1. Então, podemos multiplicar a Equação 1 por 2 e depois subtrair a Equação 2 para eliminar :
Multiplicando a Equação 1 por 2:
çã
Subtraindo a Equação 2 da Equação 3:

Passo 4

Agora, simplificamos a equação resultante dividindo todos os termos por 2:
çã
Essa equação relaciona e . Podemos resolver para em termos de :

Passo 5

Agora que temos em termos de , podemos expressar também em termos de usando a Equação 1:
Substituindo :

Passo 6

Agora, temos e em termos de :
Como é uma variável livre (pode assumir qualquer valor real), podemos representar a solução do sistema usando um parâmetro , onde . Assim, substituindo:

Passo 7

Podemos escrever a solução em forma de vetor, separando as partes que dependem de e as constantes:

Resposta

A solução do sistema é dada por:

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A medida em radianos do ângulo entre e e e é ortogonal a e a . Sendo e sabendo que é uma base, calcule .
i) Se é uma matriz diagonal, então
Em cada parte, encontre o sistema de equações lineares correspondente à matriz aumentada.
(b)