Dado o sistema :
c) Resolva o sistema e verifique que toda
Passo 1
Beleza! Vamos lá: o exercício nos dá um sistema de equações lineares com duas equações e três incógnitas (, , ). A matéria envolvida aqui é álgebra linear, especificamente a resolução de sistemas lineares e a representação das soluções em termos de vetores. Para resolver esse sistema, vamos precisar usar o método de eliminação ou substituição para encontrar as relações entre as variáveis e, finalmente, expressar a solução geral do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar o sistema que temos:
çãçã
Nosso objetivo é encontrar valores de , e que satisfazem ambas as equações simultaneamente. Como temos mais incógnitas do que equações, esperamos que a solução seja uma linha ou um plano no espaço tridimensional, representado por um vetor livre.
Passo 3
Vamos começar eliminando uma das variáveis para simplificar o sistema. Observando as equações, notamos que o coeficiente de na Equação 2 é o dobro do coeficiente na Equação 1. Então, podemos multiplicar a Equação 1 por 2 e depois subtrair a Equação 2 para eliminar :
Multiplicando a Equação 1 por 2:
çã
Subtraindo a Equação 2 da Equação 3:
Passo 4
Agora, simplificamos a equação resultante dividindo todos os termos por 2:
çã
Essa equação relaciona e . Podemos resolver para em termos de :
Passo 5
Agora que temos em termos de , podemos expressar também em termos de usando a Equação 1:
Substituindo :
Passo 6
Agora, temos e em termos de :
Como é uma variável livre (pode assumir qualquer valor real), podemos representar a solução do sistema usando um parâmetro , onde . Assim, substituindo:
Passo 7
Podemos escrever a solução em forma de vetor, separando as partes que dependem de e as constantes: