i) Se D: n times n D=(di j)n x n é uma matriz diagonal, então Det(D)=d11 cdot d22 cdot cdots cdot dn n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para entender por que o determinante de uma matriz diagonal D de ordem n é igual ao produto dos elementos da diagonal principal, ou seja, Det(D) = d11 cdot d22 cdot ldots cdot dnn. Vamos usar conceitos de matrizes e determinantes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que é uma matriz diagonal. Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada onde todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Ou seja, só temos valores diferentes de zero em d11, d22, ldots, dnn.

Passo 3

Agora, precisamos entender o que é o determinante de uma matriz. O determinante é um número que pode ser calculado a partir dos elementos de uma matriz quadrada e que tem várias propriedades importantes, como indicar se a matriz é invertível (quando o determinante é diferente de zero).

Passo 4

Para calcular o determinante de uma matriz diagonal, podemos usar o fato de que o determinante de uma matriz triangular (que inclui as matrizes diagonais) é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Isso simplifica bastante o cálculo, já que só precisamos multiplicar esses elementos.

Passo 5

Vamos aplicar isso na nossa matriz D. Como D é diagonal, ela também é triangular (tanto superior quanto inferior). Portanto, o determinante de D é simplesmente:
Det(D) = d11 cdot d22 cdot ldots cdot dnn

Resposta

Então, concluímos que o determinante da matriz diagonal D é o produto dos elementos da sua diagonal principal:
Det(D) = d11 cdot d22 cdot ldots cdot dnn

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