i) Se
é uma matriz diagonal, então
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para entender por que o determinante de uma matriz diagonal
de ordem
é igual ao produto dos elementos da diagonal principal, ou seja,
. Vamos usar conceitos de matrizes e determinantes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que é uma matriz diagonal. Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada onde todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Ou seja, só temos valores diferentes de zero em
.
Passo 3
Agora, precisamos entender o que é o determinante de uma matriz. O determinante é um número que pode ser calculado a partir dos elementos de uma matriz quadrada e que tem várias propriedades importantes, como indicar se a matriz é invertível (quando o determinante é diferente de zero).
Passo 4
Para calcular o determinante de uma matriz diagonal, podemos usar o fato de que o determinante de uma matriz triangular (que inclui as matrizes diagonais) é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Isso simplifica bastante o cálculo, já que só precisamos multiplicar esses elementos.
Passo 5
Vamos aplicar isso na nossa matriz
. Como
é diagonal, ela também é triangular (tanto superior quanto inferior). Portanto, o determinante de
é simplesmente:
Resposta
Então, concluímos que o determinante da matriz diagonal
é o produto dos elementos da sua diagonal principal: