Dado o sistema , determine:
Descreva a solução deste sistema
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que envolve as variáveis , , e . A matéria que estamos usando aqui é Álgebra Linear, especificamente resolução de sistemas lineares. Para resolver, vamos precisar usar métodos de eliminação e substituição para encontrar os valores de cada variável.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar o sistema de equações:
x + y - w = 0 (1) x - z + w = 2 (2) y + z - w = -3 (3) x + y - 2w = 1 (4)
Passo 3
Vamos tentar eliminar uma das variáveis para simplificar o sistema. Observando as equações (1) e (4), percebemos que ambas têm (x + y - 2w) - (x + y - w) = 1 - 0 x + y - 2w - x - y + w = 1 - w = 1 w = -1 , e . Vamos subtrair a equação (1) da equação (4) para eliminar e :
Passo 4
Agora que encontramos x + y - (-1) = 0 x + y + 1 = 0 x + y = -1 (5) , podemos substituir esse valor nas equações para encontrar as demais variáveis. Vamos começar pela equação (1):
Passo 5
Vamos usar a equação (2) com x - z + (-1) = 2 x - z - 1 = 2 x - z = 3 (6) :
Passo 6
Agora, a equação (3) com y + z - (-1) = -3 y + z + 1 = -3 y + z = -4 (7) :
Passo 7
Temos agora um sistema menor com as equações (5), (6) e (7):
x + y = -1 (5) x - z = 3 (6) y + z = -4 (7)
Vamos resolver a equação (5) para x = -1 - y (8) :
Passo 8
Substituindo -1 - y - z = 3 - y - z = 4 y + z = -4 (confere com a equação (7)) da equação (8) na equação (6):
çã
Isso confirma que nossas substituições estão corretas.
Passo 9
Vamos agora resolver para y + z = -4 (7) e x + y = -1 (5) . Da equação (7):
E da equação (5):
Já sabemos que da equação (8). Vamos precisar de mais informações para encontrar valores específicos para e . Porém, observando que temos apenas duas equações independentes, notamos que o sistema pode ter infinitas soluções ou ser incompatível. Vamos verificar:
Passo 10
Com x = -1 - y z = -4 - y , e das equações, parece que há continuidade no sistema, indicando infinitas soluções dependendo de um parâmetro. Vamos expressar as soluções em termos de :
Então, pode ser qualquer número real.
Resposta
As soluções do sistema são:
x = -1 - y y = y (qualquer real) z = -4 - y w = -1
Ou, de forma paramétrica, usando (x, y, z, w) = (-1 - y, y, -4 - y, -1) como parâmetro: