Suponha que as todas as bases consideradas nos exercícios abaixo sejam ordenadas. Nos exercícios 1 e 2 calcule o vetor de coordenadas de v em relação à base S dada para V.
2 V=R^3, S=(1,-1,0),(0,1,0),(1,0,2), v=(2,-1,-2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor v = (2, -1, -2) no espaço R^3 e uma base S = (1, -1, 0), (0, 1, 0), (1, 0, 2). Nosso objetivo é encontrar as coordenadas de v em relação a essa base S. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mudança de base e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor v pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base S. Ou seja, queremos encontrar escalares a, b e c tais que:
v = a cdot (1, -1, 0) + b cdot (0, 1, 0) + c cdot (1, 0, 2)

Passo 3

Vamos expandir essa combinação linear:
(2, -1, -2) = (a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 1, a cdot (-1) + b cdot 1 + c cdot 0, a cdot 0 + b cdot 0 + c cdot 2)
Isso simplifica para:
(2, -1, -2) = (a + c, -a + b, 2c)

Passo 4

Agora, temos um sistema de equações:
a + c = 2 -a + b = -1 2c = -2
Vamos resolver esse sistema para encontrar a, b e c.

Passo 5

Começando pela terceira equação:
2c = -2 implies c = -1

Passo 6

Substituindo c = -1 na primeira equação:
a + (-1) = 2 implies a = 3

Passo 7

Agora, substituindo a = 3 na segunda equação:
-3 + b = -1 implies b = 2

Resposta

As coordenadas de v = (2, -1, -2) em relação à base S são (3, 2, -1).

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