Suponha que as todas as bases consideradas nos exercícios abaixo sejam ordenadas. Nos exercícios 1 e 2 calcule o vetor de coordenadas de em relação à base dada para . .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor no espaço e uma base . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas de em relação a essa base . Para isso, vamos precisar usar conceitos de mudança de base e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, queremos encontrar escalares , e tais que:
Passo 3
Vamos expandir essa combinação linear:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar a, b e c.
Passo 5
Começando pela terceira equação:
2c = -2 implies c = -1
Passo 6
Substituindo c = -1 na primeira equação:
a + (-1) = 2 implies a = 3
Passo 7
Agora, substituindo a = 3 na segunda equação:
-3 + b = -1 implies b = 2
Resposta
As coordenadas de v = (2, -1, -2) em relação à base S são (3, 2, -1).