Resolva os sistemas lineares por escalonamento e classifique.
l2 x+3 y+3 z=0 3 x+4 y+5 z=1 5 x+7 y+8 z=1

Passo 1

Então, a gente tem aqui um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . O objetivo é resolver esse sistema usando o método de escalonamento, que basicamente organiza as equações de forma que seja mais fácil encontrar os valores de cada variável. Para isso, vamos usar algumas operações matemáticas como somar ou subtrair as equações para eliminar uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
2x + 3y + 3z = 0 3x + 4y + 5z = 1 5x + 7y + 8z = 1
Nosso primeiro objetivo é eliminar uma das variáveis de duas das equações. Vamos escolher eliminar o .

Passo 3

Para eliminar o 6x + 9y + 9z = 0 (Equação 1 × 3) 6x + 8y + 10z = 2 (Equação 2 × 2) , vamos fazer combinações das primeiras duas equações. Multiplicamos a primeira equação por 3 e a segunda por 2:
(6x + 9y + 9z) - (6x + 8y + 10z) = 0 - 2 0x + y - z = -2 y - z = -2 (Equação 4) çãçã
Agora, subtraímos a segunda equação da primeira:
çã

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 10x + 15y + 15z = 0 (Equação 1 × 5) 10x + 14y + 16z = 2 (Equação 3 × 2) entre a primeira e a terceira equação. Multiplicamos a primeira equação por 5 e a terceira por 2:
(10x + 15y + 15z) - (10x + 14y + 16z) = 0 - 2 0x + y - z = -2 y - z = -2 (Equação 5) çãçã
Subtraindo a segunda equação da primeira:
çã
Percebemos que a Equação 4 e a Equação 5 são iguais, o que significa que temos apenas duas equações independentes agora.

Passo 5

Com as duas equações restantes:
y - z = -2 (Equação 4) 3x + 4y + 5z = 1 (Equação 2) çãçã
Podemos expressar y = z - 2 em termos de a partir da Equação 4:

Passo 6

Agora, substituímos 3x + 4(z - 2) + 5z = 1 3x + 4z - 8 + 5z = 1 3x + 9z = 9 3x = 9 - 9z x = 3 - 3z na Equação 2:

Passo 7

Temos que 2x + 3y + 3z = 0 2(3 - 3z) + 3(z - 2) + 3z = 0 6 - 6z + 3z - 6 + 3z = 0 0 = 0 e . Ainda falta determinar . Vamos substituir e em uma das equações originais para encontrar . Vamos usar a primeira equação:
Essa equação se reduz a , o que significa que nossas substituições estão corretas, mas não conseguimos determinar um valor específico para . Isso indica que o sistema tem infinitas soluções, dependendo do valor escolhido para .

Resposta

O sistema possui infinitas soluções, podendo ser expressado em termos de x = 3 - 3z y = z - 2 z = z (livre) da seguinte forma:

Classificação

Como o sistema tem infinitas soluções, ele é considerado um sistema compatível indeterminado.

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