Dado o sistema, discuta quanto à existência ou não de solução. Determine sua solução caso o sistema seja possível.
S=lll -t+3 x+3 y-2 y & = & 2 -2 t+5 x+2 y+z & = & 1 -t+2 x-y+3 y & = & -1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações lineares. Basicamente, temos três equações envolvendo quatro variáveis: , , e . Nosso objetivo é descobrir se esse sistema tem solução e, se tiver, qual é essa solução. Para resolver isso, vamos usar técnicas de álgebra linear, como a eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar o sistema passo a passo até encontrarmos os valores das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as equações de forma mais clara:
- t + 3x + 3y - 2z = 2 -2t + 5x + 2y + z = 1 - t + 2x - y + 3z = -1
Aqui, já podemos ver que temos mais variáveis (4) do que equações (3), o que geralmente indica que podemos ter infinitas soluções ou nenhuma, dependendo das equações.

Passo 3

Vamos montar a matriz aumentada do sistema para facilitar a aplicação da eliminação de Gauss. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
-1 & 3 & 3 & -2 & | & 2 -2 & 5 & 2 & 1 & | & 1 -1 & 2 & -1 & 3 & | & -1

Passo 4

O próximo passo é transformar essa matriz em escada de linha (forma triangular), onde conseguimos eliminar uma variável de cada vez. Vamos começar eliminando o -1 cdot t + 3x + 3y - 2z = 2 das equações 2 e 3 usando a primeira equação.
Primeiro, mantemos a primeira equação como está:
(-2t + 5x + 2y + z) + 2(-t + 3x + 3y - 2z) = 1 + 2 cdot 2
Agora, vamos transformar a segunda equação. Para eliminar -2t + 5x + 2y + z - 2t + 6x + 6y - 4z = 5 , multiplicamos a primeira equação por 2 e somamos com a segunda:
(-4t) + 11x + 8y - 3z = 5
2(-t + 3x + 3y - 2z) + (-2t + 5x + 2y + z) = 2 cdot 2 + 1
-2t + 6x + 6y - 4z -2t + 5x + 2y + z = 5
Mas isso não eliminou -4t + 11x + 8y -3z = 5 . Parece que houve um erro. Vamos tentar de outro jeito: multiplicar a primeira equação por 2 e somar com a segunda:
(-1t + 3x + 3y - 2z) + (-1t + 2x - y + 3z) = 2 + (-1)
-2t + 5x + 2y + z = 1
Ainda não eliminamos . Parece que precisamos de uma abordagem diferente. Vamos tentar eliminar das equações 1 e 3.
Multiplicamos a primeira equação por 1 e a terceira por 1 e somamos:
Ei, isso nos retorna a segunda equação original. Isso significa que as equações 2 e 3 são múltiplas da equação 1, o que indica que temos dependência linear e possivelmente infinitas soluções.

Passo 5

Como as equações não são independentes, podemos expressar algumas variáveis em termos de outras. Vamos escolher uma variável livre, digamos - t + 3x + 3y - 2z = 2 Rightarrow t = 3x + 3y - 2z - 2 , e expressar -2t + 5x + 2y + z = 1 Substituindo ( t ): , -2(3x + 3y - 2z - 2) + 5x + 2y + z = 1 -6x -6y +4z +4 +5x +2y +z =1 (-6x +5x) + (-6y +2y) + (4z +z) +4 =1 - x -4y +5z +4 =1 Rightarrow -x -4y +5z = -3 Rightarrow x = -4y +5z +3 e t = 3(-4y +5z +3) +3y -2z -2 = -12y +15z +9 +3y -2z -2 = (-12y +3y) + (15z -2z) + (9 -2) = -9y +13z +7 em função de .
Vamos usar a primeira equação para resolver :
Agora, vamos usar a segunda equação:
Agora, substituímos na expressão de :

Passo 6

Até aqui, conseguimos expressar x = -4y +5z +3 t = -9y +13z +7 e em função de e . Como temos duas variáveis livres ( e ), podemos definir uma delas como livre. Vamos escolher como livre também.
Então, temos:
Portanto, as soluções do sistema dependem dos valores que atribuirmos a e . Isso confirma que o sistema tem infinitas soluções.

Resposta

O sistema possui infinitas soluções, que podem ser expressas em função de t = -9y +13z +7 x = -4y +5z +3 y = y z = z e da seguinte forma:
Ou seja, para quaisquer valores de e , podemos encontrar valores correspondentes de e que satisfazem o sistema.

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