Determine uma base e a dimensão do sub-espaço W in R^4 onde W=(x, y, z, t) in R^4 mid x-y= y e x+3 y+t= 0}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar uma base e a dimensão de um subespaço em . Basicamente, queremos descobrir quais vetores formam uma base para e quantos vetores precisaremos nessa base (a dimensão). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como sistemas de equações lineares e espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as condições que definem o subespaço x - y = y e x + 3y + t = 0 . Temos que:
Essas duas equações vão nos ajudar a relacionar as variáveis e . Vamos resolver esse sistema para expressar algumas variáveis em função das outras.

Passo 3

Começando pela primeira equação:
x - y = y
Vamos isolar x = 2y :
Isso nos diz que é o dobro de .

Passo 4

Agora, substituímos 2y + 3y + t = 0 na segunda equação:
5y + t = 0
Somando os termos com t = -5y :
Isolando :
Então, é igual a vezes .

Passo 5

Até aqui, conseguimos expressar e em função de . A variável não apareceu nas equações, o que significa que ela é livre, ou seja, pode assumir qualquer valor real. Então, vamos definir e como nossos parâmetros livres.

Passo 6

Vamos montar o vetor geral em (x, y, z, t) = (2y, y, z, -5y) usando as relações que encontramos:
y cdot (2, 1, 0, -5) + z cdot (0, 0, 1, 0)
Podemos reescrever isso como:
Aqui, e são os parâmetros que multiplicam os vetores que vão formar a base.

Passo 7

Agora, identificamos os vetores que formam a base de , (2, 1, 0, -5),; (0, 0, 1, 0) , :
Esses vetores são lineares e conseguem gerar todo o subespaço .

Passo 8

Por fim, determinamos a dimensão de . Como temos 2 vetores na base, a dimensão de é 2.

Resposta

Uma base para é e a dimensão de é 2.

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