Determine uma base e a dimensão do sub-espaço
onde
y e
0}
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar uma base e a dimensão de um subespaço
em
. Basicamente, queremos descobrir quais vetores formam uma base para
e quantos vetores precisaremos nessa base (a dimensão). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como sistemas de equações lineares e espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as condições que definem o subespaço
. Temos que:
Essas duas equações vão nos ajudar a relacionar as variáveis
e
. Vamos resolver esse sistema para expressar algumas variáveis em função das outras.
Passo 3
Começando pela primeira equação:
Vamos isolar
:
Isso nos diz que
é o dobro de
.
Passo 4
Agora, substituímos
na segunda equação:
Somando os termos com
:
Isolando
:
Então,
é igual a
vezes
.
Passo 5
Até aqui, conseguimos expressar
e
em função de
. A variável
não apareceu nas equações, o que significa que ela é livre, ou seja, pode assumir qualquer valor real. Então, vamos definir
e
como nossos parâmetros livres.
Passo 6
Vamos montar o vetor geral em
usando as relações que encontramos:
Podemos reescrever isso como:
Aqui,
e
são os parâmetros que multiplicam os vetores que vão formar a base.
Passo 7
Agora, identificamos os vetores que formam a base de
:
Esses vetores são lineares e conseguem gerar todo o subespaço
.
Passo 8
Por fim, determinamos a dimensão de
. Como temos 2 vetores na base, a dimensão de
é 2.
Resposta
Uma base para
é
e a dimensão de
é 2.