Determine uma base e a dimensão do sub-espaço onde y e 0}
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar uma base e a dimensão de um subespaço em . Basicamente, queremos descobrir quais vetores formam uma base para e quantos vetores precisaremos nessa base (a dimensão). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como sistemas de equações lineares e espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as condições que definem o subespaço . Temos que:
Essas duas equações vão nos ajudar a relacionar as variáveis e . Vamos resolver esse sistema para expressar algumas variáveis em função das outras.
Passo 3
Começando pela primeira equação:
Vamos isolar :
Isso nos diz que é o dobro de .
Passo 4
Agora, substituímos na segunda equação:
Somando os termos com :
Isolando :
Então, é igual a vezes .
Passo 5
Até aqui, conseguimos expressar e em função de . A variável não apareceu nas equações, o que significa que ela é livre, ou seja, pode assumir qualquer valor real. Então, vamos definir e como nossos parâmetros livres.
Passo 6
Vamos montar o vetor geral em usando as relações que encontramos:
Podemos reescrever isso como:
Aqui, e são os parâmetros que multiplicam os vetores que vão formar a base.
Passo 7
Agora, identificamos os vetores que formam a base de :
Esses vetores são lineares e conseguem gerar todo o subespaço .
Passo 8
Por fim, determinamos a dimensão de . Como temos 2 vetores na base, a dimensão de é 2.