Determine se o seguinte conjunto de vetores é L.I. [ll1 & 0 1 & 0],[cc1 & 0 -1 & 0],[ll0 & 0 1 & 0] em M2 times 2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se um conjunto de três matrizes de é linearmente independente (L.I.) no espaço . Basicamente, vamos verificar se essas matrizes não podem ser escritas como combinações lineares umas das outras. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como combinações lineares e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar as matrizes do conjunto de A = 1 & 0 1 & 0, B = 1 & 0 -1 & 0, C = 0 & 0 1 & 0 , k1 A + k2 B + k3 C = 0 e :
Para verificar a independência linear, vamos supor que exista uma combinação linear dessas matrizes igual a zero:
Aqui, , e são escalares que queremos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos escrever essa combinação linear de forma detalhada:
k1 1 & 0 1 & 0 + k2 1 & 0 -1 & 0 + k3 0 & 0 1 & 0 = 0 & 0 0 & 0
Isso resulta em:
k1 + k2 & 0 k1 - k2 + k3 & 0 = 0 & 0 0 & 0

Passo 4

Para que as matrizes sejam iguais, cada entrada correspondente deve ser igual. Então, vamos obter um sistema de equações:
  1. (já que as entradas das colunas são zero, não acrescenta nada)

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
Da primeira equação:
k1 = -k2
Substituindo (-k2) - k2 + k3 = 0 implies -2k2 + k3 = 0 implies k3 = 2k2 na segunda equação:

Passo 6

Então, temos que todas as soluções do sistema são da forma:
k1 = -k2, k3 = 2k2
Isso significa que existe uma solução não trivial (ou seja, onde pelo menos um dos 's não é zero). Por exemplo, se , então e .

Passo 7

Como existe uma solução diferente da trivial (todos os iguais a zero), isso quer dizer que as matrizes , e são linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto de matrizes dado é linearmente dependente.

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