Determine se o seguinte conjunto de vetores é L.I. ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se um conjunto de três matrizes de é linearmente independente (L.I.) no espaço . Basicamente, vamos verificar se essas matrizes não podem ser escritas como combinações lineares umas das outras. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como combinações lineares e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar as matrizes do conjunto de , e :
Para verificar a independência linear, vamos supor que exista uma combinação linear dessas matrizes igual a zero:
Aqui, , e são escalares que queremos descobrir.
Passo 3
Agora, vamos escrever essa combinação linear de forma detalhada:
Isso resulta em:
Passo 4
Para que as matrizes sejam iguais, cada entrada correspondente deve ser igual. Então, vamos obter um sistema de equações:
(já que as entradas das colunas são zero, não acrescenta nada)
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Passo 6
Então, temos que todas as soluções do sistema são da forma:
Isso significa que existe uma solução não trivial (ou seja, onde pelo menos um dos 's não é zero). Por exemplo, se , então e .
Passo 7
Como existe uma solução diferente da trivial (todos os iguais a zero), isso quer dizer que as matrizes , e são linearmente dependentes.
Resposta
O conjunto de matrizes dado é linearmente dependente.