Utilize a transformação dada para calcular a integral. , onde é o paralelogramo com vértices ,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre um paralelogramo usando uma transformação. O que isso significa? Basicamente, vamos mudar as variáveis para facilitar o cálculo. Para isso, vamos usar as fórmulas que relacionam e com e . Precisamos encontrar o jacobiano dessa transformação e estabelecer os novos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que é o paralelogramo com os vértices , , e . Mas como temos a transformação e , vamos reescrever os limites de em termos de e .

Passo 3

Agora, precisamos calcular o jacobiano da transformação. O jacobiano nos ajuda a ajustar a área quando mudamos de coordenadas. Vamos calcular as derivadas parciais:
Então, o valor absoluto do jacobiano é .

Passo 4

Com o jacobiano conhecido, vamos transformar a integral original. A integral se torna:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, precisamos determinar os limites de e para a região . Observando os vértices e as transformações, podemos deduzir que varia de 0 a 4 e varia de 0 a 4.
Vamos calcular a integral:
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Resposta

A integral vale .

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(a)
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