Utilize a transformação dada para calcular a integral. integral duplaR 4 x+8 y d A, onde R é o paralelogramo com vértices (-1,3),(1,-3),(3,-1) e(1,5) ; x=14(u+v), y=14(v-3 u)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre um paralelogramo usando uma transformação. O que isso significa? Basicamente, vamos mudar as variáveis para facilitar o cálculo. Para isso, vamos usar as fórmulas que relacionam e com e . Precisamos encontrar o jacobiano dessa transformação e estabelecer os novos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que é o paralelogramo com os vértices , , e . Mas como temos a transformação e , vamos reescrever os limites de em termos de e .

Passo 3

Agora, precisamos calcular o jacobiano da transformação. O jacobiano nos ajuda a ajustar a área quando mudamos de coordenadas. Vamos calcular as derivadas parciais:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = 14 & 14 -34 & 14 = (14 times 14) - (14 times -34) = 116 + 316 = 416 = 14
Então, o valor absoluto do jacobiano é .

Passo 4

Com o jacobiano conhecido, vamos transformar a integral original. A integral integral duplaS (4 (u + v4) + 8 (v - 3u4)) times |14| du dv se torna:
4 (u + v4) = u + v
Simplificando a expressão dentro da integral:
8 (v - 3u4) = 2(v - 3u) = 2v - 6u
u + v + 2v - 6u = -5u + 3v
integral duplaS (-5u + 3v) times 14 du dv = 14 integral duplaS (-5u + 3v) du dv
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, precisamos determinar os limites de 14 integral0^4 integral0^4 (-5u + 3v) du dv e integral0^4 (-5u + 3v) du = [-52u^2 + 3v u]0^4 = [-52(16) + 12v] - 0 = -40 + 12v para a região 14 integral0^4 (-40 + 12v) dv = 14 [-40v + 6v^2]0^4 = 14 [-160 + 96] = 14 (-64) = -16 . Observando os vértices e as transformações, podemos deduzir que varia de 0 a 4 e varia de 0 a 4.
Vamos calcular a integral:
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados