Dado o sistema de equações lineares com então alpha e beta reais
se alpha=-1 e beta neq 1, o sistema é possível e determinado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações lineares com três incógnitas:
l x + y + z = beta x - y + alpha z = 1 x - y - z = 1
Queremos mostrar que, quando e , esse sistema é possível e determinado. Isso significa que existe uma única solução para o sistema nessas condições. Para resolver isso, vamos usar métodos de álgebra linear, como a eliminação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir l x + y + z = beta x - y - z = 1 x - y - z = 1 por l x + y + z = beta x - y - z = 1 nas equações:
Observamos que as segunda e terceira equações são iguais. Isso simplifica nosso sistema para:
Passo 3
Agora, vamos somar as duas equações para eliminar (x + y + z) + (x - y - z) = beta + 1 e 2x = beta + 1 :
x = beta + 12
Isso simplifica para:
Então, podemos resolver para :
Passo 4
Com o valor de beta + 12 - y - z = 1 conhecido, vamos substituir -y - z = 1 - beta + 12 de volta na segunda equação para encontrar -y - z = 2 - (beta + 1)2 = 1 - beta2 e y + z = beta - 12 :
Vamos isolar :
Simplificando o lado direito:
Multiplicando ambos os lados por :
Passo 5
Agora, vamos usar a primeira equação para expressar beta + 12 + y + z = beta em termos de y + z = beta - beta + 12 = 2beta - beta - 12 = beta - 12 :
Isolando :
Confirmamos que , o que já tínhamos encontrado anteriormente.
Passo 6
Como temos apenas uma equação com duas variáveis ( e ), podemos atribuir um valor arbitrário a uma delas. No entanto, como queremos uma solução única, isso só será possível se . Se , a equação se torna , o que permite infinitas soluções. Portanto, para , o sistema terá uma única solução determinada.
Resposta
Quando e , o sistema de equações é possível e determinado, tendo uma única solução para as variáveis , e .