Sejam
e
bases para
. Sejam também
e
.
a) Encontre os vetores de coordenadas de
e
com relação à base
.
a) Encontre os vetores de coordenadas de
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para encontrarmos as coordenadas dos vetores
e
em relação à base
do
. Para resolver isso, vamos usar a ideia de mudança de base, que envolve expressar nossos vetores em termos dos vetores da base
. Precisamos montar um sistema de equações para encontrar os coeficientes que combinam os vetores da base
para formar
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas de
em relação à base
. Queremos encontrar números
e
tais que:
Isso se traduz em:
Passo 3
Agora, igualamos as componentes correspondentes dos vetores:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Passo 4
Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar
:
Agora que temos
, substituímos na primeira equação:
Passo 5
Portanto, as coordenadas de
em relação à base
são
.
Passo 6
Vamos repetir o mesmo processo para encontrar as coordenadas de
em relação à base
. Queremos encontrar números
e
tais que:
Isso resulta em:
Passo 7
Igualando as componentes correspondentes:
Vamos resolver esse sistema para
e
.
Passo 8
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
As coordenadas de
em relação à base
são
e as coordenadas de
em relação à base
são
.