Sejam S=(1,2),(0,1) e T=(1,1),(2,3) bases para R^2. Sejam também v=(1,5) e w=(5,4).
a) Encontre os vetores de coordenadas de v e w com relação à base T.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para encontrarmos as coordenadas dos vetores v = (1,5) e w = (5,4) em relação à base T = (1,1), (2,3) do R^2. Para resolver isso, vamos usar a ideia de mudança de base, que envolve expressar nossos vetores em termos dos vetores da base T. Precisamos montar um sistema de equações para encontrar os coeficientes que combinam os vetores da base T para formar v e w.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas de v em relação à base T. Queremos encontrar números a e b tais que:
v = a cdot (1,1) + b cdot (2,3)
Isso se traduz em:
(1,5) = (a + 2b, a + 3b)

Passo 3

Agora, igualamos as componentes correspondentes dos vetores:
a + 2b = 1 a + 3b = 5
Vamos resolver esse sistema para encontrar a e b.

Passo 4

Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar a:
(a + 3b) - (a + 2b) = 5 - 1 b = 4
Agora que temos b = 4, substituímos na primeira equação:
a + 2(4) = 1 a + 8 = 1 a = -7

Passo 5

Portanto, as coordenadas de v em relação à base T são (-7, 4).

Passo 6

Vamos repetir o mesmo processo para encontrar as coordenadas de w = (5,4) em relação à base T. Queremos encontrar números c e d tais que:
w = c cdot (1,1) + d cdot (2,3)
Isso resulta em:
(5,4) = (c + 2d, c + 3d)

Passo 7

Igualando as componentes correspondentes:
c + 2d = 5 c + 3d = 4
Vamos resolver esse sistema para c e d.

Passo 8

Subtraindo a primeira equação da segunda:
(c + 3d) - (c + 2d) = 4 - 5 d = -1
Substituindo d = -1 na primeira equação:
c + 2(-1) = 5 c - 2 = 5 c = 7

Resposta

As coordenadas de v em relação à base T são (-7, 4) e as coordenadas de w em relação à base T são (7, -1).

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