A primeira dessas equações mais a segunda é igual à terceira:
Os dois primeiros planos se cruzam ao longo de uma reta. O terceiro plano contém essa reta, pois, se satisfazem as duas primeiras equações, então eles também . As equações possuem infinitas soluções (a linha inteira L). Encontre três soluções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas: , e . O objetivo é encontrar três conjuntos de valores para essas variáveis que satisfaçam todas as equações ao mesmo tempo. Esse tipo de problema faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente na resolução de sistemas lineares. Para resolver, vamos usar métodos de substituição e parametrização para encontrar as soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as equações que temos:
Observamos que a terceira equação pode ser obtida somando a primeira e a segunda:
Isso significa que a terceira equação não traz informações novas, então o sistema tem infinitas soluções. Vamos encontrar essas soluções expressando uma das variáveis em termos das outras.
Passo 3
Vamos resolver o sistema usando a variável x + y + z = 2 x + y + t = 2 (1a) como parâmetro. Ou seja, vamos deixar x + 2y + z = 3 x + 2y + t = 3 (2a) , onde pode ser qualquer número real. Isso nos ajuda a expressar e em função de .
A partir da primeira equação:
Da segunda equação:
Passo 4
Agora, vamos subtrair a equação (x + 2y + t) - (x + y + t) = 3 - 2 x + 2y + t - x - y - t = 1 y = 1 da equação para eliminar :
Então, descobrimos que .
Passo 5
Com x + y + t = 2 x + 1 + t = 2 x + t = 1 x = 1 - t , podemos substituir esse valor na equação para encontrar :
Agora temos e .
Passo 6
Resumindo, expressamos x = 1 - t y = 1 z = t e em termos de :
Isso significa que, para qualquer valor de , temos uma solução para o sistema. Como o sistema tem infinitas soluções, podemos escolher valores específicos para e encontrar conjuntos correspondentes de .
Passo 7
Vamos escolher três valores diferentes para x = 1 - 0 = 1 y = 1 z = 0 e encontrar as soluções correspondentes: