Dado o sistema:
l 2 x+4 y+6 z=-6 3 x-2 y-4 z=-38 x+2 y+3 z=-3
(b) Determine o posto da matriz ampliada do item (a), o posto da matriz dos coeficientes e o grau de liberdade do sistema. Classifique o sistema em possível determinado (SPD), possível indeterminado (SPI) ou impossível (SI). Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . O objetivo aqui é determinar o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes, o grau de liberdade do sistema e, com base nisso, classificar o sistema como possivelmente determinado (SPD), possivelmente indeterminado (SPI) ou impossível (SI).
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes, posto de matriz e como isso se relaciona com sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes e a matriz ampliada do sistema. A matriz dos coeficientes é formada apenas pelos coeficientes das variáveis nas equações, enquanto a matriz ampliada inclui também os termos constantes.
Então, a matriz dos coeficientes A = 2 & 4 & 6 3 & -2 & -4 1 & 2 & 3 é:
A|b = 2 & 4 & 6 & | & -6 3 & -2 & -4 & | & -38 1 & 2 & 3 & | & -3
E a matriz ampliada é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o posto dessas matrizes. O posto de uma matriz é o número máximo de linhas linearmente independentes. Para isso, vamos usar o método de escalonamento para trazer as matrizes para a forma escalonada e contar quantas linhas não nulas elas têm.
Vamos começar com a matriz dos coeficientes A = 2 & 4 & 6 3 & -2 & -4 1 & 2 & 3 :
1 & 2 & 3 3 & -2 & -4 1 & 2 & 3
Primeiro, vamos tornar o primeiro elemento da primeira coluna igual a 1 para facilitar os cálculos. Podemos dividir a primeira linha por 2:
1 & 2 & 3 0 & -8 & -13 0 & 0 & 0
Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (1) na primeira coluna. Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda linha e a primeira linha da terceira linha:
Aqui, a terceira linha ficou toda em zeros, então o posto da matriz dos coeficientes é 2.

Passo 4

Vamos agora fazer o mesmo processo para a matriz ampliada A|b = 2 & 4 & 6 & | & -6 3 & -2 & -4 & | & -38 1 & 2 & 3 & | & -3 :
1 & 2 & 3 & | & -3 3 & -2 & -4 & | & -38 1 & 2 & 3 & | & -3
Dividimos a primeira linha por 2:
1 & 2 & 3 & | & -3 0 & -8 & -13 & | & -29 0 & 0 & 0 & | & 0
Eliminamos os elementos abaixo do primeiro pivô:
Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda linha e a primeira linha da terceira linha:
Novamente, a terceira linha ficou toda em zeros, então o posto da matriz ampliada também é 2.

Passo 5

Com os postos em mãos, vamos para o grau de liberdade. O grau de liberdade é calculado pela diferença entre o número de variáveis e o posto da matriz dos coeficientes.
Grau de liberdade = n - posto(A) = 3 - 2 = 1
Isso significa que temos uma variável livre no sistema.

Passo 6

Finalmente, vamos classificar o sistema:
  • Se o posto da matriz dos coeficientes é igual ao posto da matriz ampliada e igual ao número de variáveis, o sistema é possivelmente determinado (SPD).
  • Se o posto da matriz dos coeficientes é igual ao posto da matriz ampliada, mas menor que o número de variáveis, o sistema é possivelmente indeterminado (SPI).
  • Se o posto da matriz dos coeficientes é diferente do posto da matriz ampliada, o sistema é impossível (SI).
No nosso caso:
posto(A) = posto(A|b) = 2 < 3
Então, o sistema é possivelmente indeterminado (SPI).

Resposta

O posto da matriz ampliada é 2, o posto da matriz dos coeficientes também é 2, e o grau de liberdade do sistema é 1. Portanto, o sistema é classificado como possivelmente indeterminado (SPI).

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