(b) Determine o posto da matriz ampliada do item (a), o posto da matriz dos coeficientes e o grau de liberdade do sistema. Classifique o sistema em possível determinado (SPD), possível indeterminado (SPI) ou impossível (SI). Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . O objetivo aqui é determinar o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes, o grau de liberdade do sistema e, com base nisso, classificar o sistema como possivelmente determinado (SPD), possivelmente indeterminado (SPI) ou impossível (SI).
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes, posto de matriz e como isso se relaciona com sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes e a matriz ampliada do sistema. A matriz dos coeficientes é formada apenas pelos coeficientes das variáveis nas equações, enquanto a matriz ampliada inclui também os termos constantes.
Então, a matriz dos coeficientes é:
E a matriz ampliada é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o posto dessas matrizes. O posto de uma matriz é o número máximo de linhas linearmente independentes. Para isso, vamos usar o método de escalonamento para trazer as matrizes para a forma escalonada e contar quantas linhas não nulas elas têm.
Vamos começar com a matriz dos coeficientes :
Primeiro, vamos tornar o primeiro elemento da primeira coluna igual a 1 para facilitar os cálculos. Podemos dividir a primeira linha por 2:
Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (1) na primeira coluna. Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda linha e a primeira linha da terceira linha:
Aqui, a terceira linha ficou toda em zeros, então o posto da matriz dos coeficientes é 2.
Passo 4
Vamos agora fazer o mesmo processo para a matriz ampliada :
Dividimos a primeira linha por 2:
Eliminamos os elementos abaixo do primeiro pivô:
Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda linha e a primeira linha da terceira linha:
Novamente, a terceira linha ficou toda em zeros, então o posto da matriz ampliada também é 2.
Passo 5
Com os postos em mãos, vamos para o grau de liberdade. O grau de liberdade é calculado pela diferença entre o número de variáveis e o posto da matriz dos coeficientes.
Isso significa que temos uma variável livre no sistema.
Passo 6
Finalmente, vamos classificar o sistema:
Se o posto da matriz dos coeficientes é igual ao posto da matriz ampliada e igual ao número de variáveis, o sistema é possivelmente determinado (SPD).
Se o posto da matriz dos coeficientes é igual ao posto da matriz ampliada, mas menor que o número de variáveis, o sistema é possivelmente indeterminado (SPI).
Se o posto da matriz dos coeficientes é diferente do posto da matriz ampliada, o sistema é impossível (SI).
No nosso caso:
Então, o sistema é possivelmente indeterminado (SPI).
Resposta
O posto da matriz ampliada é 2, o posto da matriz dos coeficientes também é 2, e o grau de liberdade do sistema é 1. Portanto, o sistema é classificado como possivelmente indeterminado (SPI).