Determine o módulo do vetor u, sabendo que u+v resulta em um vetor na direção positiva do semieixo y com módulo igual ao de v, onde v=3 imath+4 jmath.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: Precisamos encontrar o módulo do vetor u. Sabemos que a soma dos vetores u + v resulta em um vetor que está na direção positiva do semieixo y e que esse vetor resultante tem o mesmo módulo que o vetor v. O vetor v é dado por v = 3 imath + 4 jmath. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar vetores e como calcular o módulo de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o módulo do vetor v. A fórmula para o módulo de um vetor a = ax imath + ay jmath é:
|a| = raizax^2 + ay^2
Aplicando isso para v:
|v| = raiz3^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5
Então, o módulo de v é 5.

Passo 3

Sabemos que u + v está na direção positiva do semieixo y. Isso significa que o componente na direção x desse vetor resultante é zero. Vamos chamar u de u = ux imath + uy jmath.
Então:
u + v = (ux + 3)imath + (uy + 4)jmath
Para que esse vetor esteja na direção positiva do semieixo y, o componente em imath deve ser zero:
ux + 3 = 0 implies ux = -3

Passo 4

Além disso, sabemos que o módulo de u + v é igual ao módulo de v, que é 5. Então:
|u + v| = 5
Vamos calcular o módulo de u + v:
|u + v| = raiz(ux + 3)^2 + (uy + 4)^2 = raiz0^2 + (uy + 4)^2 = |uy + 4|
Como |u + v| = 5, temos:
|uy + 4| = 5 implies uy + 4 = 5 ou uy + 4 = -5
Resolvendo:
  1. uy + 4 = 5 implies uy = 1
  2. uy + 4 = -5 implies uy = -9

Passo 5

Temos duas possibilidades para uy: 1 ou -9. Agora, vamos encontrar o módulo de u para cada caso. O vetor u é:
  1. Quando uy = 1:
u = -3 imath + 1 jmath
O módulo de u é:
|u| = raiz(-3)^2 + 1^2 = raiz9 + 1 = raiz10 approx 3,16
  1. Quando uy = -9:
u = -3 imath - 9 jmath
O módulo de u é:
|u| = raiz(-3)^2 + (-9)^2 = raiz9 + 81 = raiz90 = 3raiz10 approx 9,49

Resposta

O módulo do vetor u pode ser raiz10 (aproximadamente 3,16) ou 3raiz10 (aproximadamente 9,49).

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