Dado o sistema:
(a) Escreva a matriz ampliada associada ao sistema e reduza-a a forma escada reduzida por linhas, para resolver o sistema original.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três variáveis , e . O conteúdo que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente o método de resolução de sistemas lineares usando matrizes. Para resolver esse sistema, vamos precisar montar a matriz ampliada do sistema e, em seguida, reduzi-la para a forma escalonada usando operações de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz ampliada. Ela é uma matriz que representa o sistema de equações, incluindo os termos constantes das equações. Cada linha da matriz corresponde a uma equação do sistema, e cada coluna, a um coeficiente das variáveis ou ao termo constante.
Para o nosso sistema:
A matriz ampliada fica assim:

Passo 3

Agora, vamos começar a reduzir essa matriz para a forma escalonada. A ideia é transformar a matriz de modo que ela fique mais simples para identificar as soluções das variáveis.
Primeiro, vamos usar o primeiro elemento da primeira linha (chamado de pivô) para eliminar os coeficientes abaixo dele na primeira coluna.
Para isso, podemos fazer:
Aplicando essas operações:
Para :
Para :
A matriz agora fica:

Passo 4

Observamos que a terceira linha se reduziu a zeros, o que indica que temos dependência linear e possivelmente infinitas soluções. Vamos continuar para simplificar a matriz.
Agora, vamos tornar o segundo pivô igual a 1. Para isso, dividimos a segunda linha por -8:
A matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos eliminar o coeficiente acima do pivô na segunda coluna. Para isso, fazemos:
Calculando:
Convertendo para frações:
A matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a primeira linha dividindo por 2 para tornar o pivô igual a 1:
A matriz final está:

Resposta

A solução do sistema é:
éâ
Ou seja, em termos de :

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Dado o sistema:
(b) Determine o posto da matriz ampliada do item (a), o posto da matriz dos coeficientes e o grau de liberdade do sistema. Classifique o sistema em possível determinado (SPD), possível indeterminado (SPI) ou impossível (SI). Justifique.
Determine o módulo do vetor , sabendo que resulta em um vetor na direção positiva do semieixo com módulo igual ao de , onde .
Demonstre a desigualdade de Schwarz
Seja uma função. Se , então ? Prove ou dê um contra-exemplo.