(a) Escreva a matriz ampliada associada ao sistema e reduza-a a forma escada reduzida por linhas, para resolver o sistema original.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três variáveis , e . O conteúdo que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente o método de resolução de sistemas lineares usando matrizes. Para resolver esse sistema, vamos precisar montar a matriz ampliada do sistema e, em seguida, reduzi-la para a forma escalonada usando operações de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz ampliada. Ela é uma matriz que representa o sistema de equações, incluindo os termos constantes das equações. Cada linha da matriz corresponde a uma equação do sistema, e cada coluna, a um coeficiente das variáveis ou ao termo constante.
Para o nosso sistema:
A matriz ampliada fica assim:
Passo 3
Agora, vamos começar a reduzir essa matriz para a forma escalonada. A ideia é transformar a matriz de modo que ela fique mais simples para identificar as soluções das variáveis.
Primeiro, vamos usar o primeiro elemento da primeira linha (chamado de pivô) para eliminar os coeficientes abaixo dele na primeira coluna.
Para isso, podemos fazer:
Aplicando essas operações:
Para :
Para :
A matriz agora fica:
Passo 4
Observamos que a terceira linha se reduziu a zeros, o que indica que temos dependência linear e possivelmente infinitas soluções. Vamos continuar para simplificar a matriz.
Agora, vamos tornar o segundo pivô igual a 1. Para isso, dividimos a segunda linha por -8:
A matriz fica:
Passo 5
Agora, vamos eliminar o coeficiente acima do pivô na segunda coluna. Para isso, fazemos:
Calculando:
Convertendo para frações:
A matriz fica:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a primeira linha dividindo por 2 para tornar o pivô igual a 1: