Dado o sistema:
l 2 x+4 y+6 z=-6 3 x-2 y-4 z=-38 x+2 y+3 z=-3
(a) Escreva a matriz ampliada associada ao sistema e reduza-a a forma escada reduzida por linhas, para resolver o sistema original.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três variáveis , e . O conteúdo que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente o método de resolução de sistemas lineares usando matrizes. Para resolver esse sistema, vamos precisar montar a matriz ampliada do sistema e, em seguida, reduzi-la para a forma escalonada usando operações de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz ampliada. Ela é uma matriz que representa o sistema de equações, incluindo os termos constantes das equações. Cada linha da matriz corresponde a uma equação do sistema, e cada coluna, a um coeficiente das variáveis ou ao termo constante.
Para o nosso sistema:
l 2x + 4y + 6z = -6 3x - 2y - 4z = -38 x + 2y + 3z = -3
A matriz ampliada fica assim:
2 & 4 & 6 & | & -6 3 & -2 & -4 & | & -38 1 & 2 & 3 & | & -3

Passo 3

Agora, vamos começar a reduzir essa matriz para a forma escalonada. A ideia é transformar a matriz de modo que ela fique mais simples para identificar as soluções das variáveis.
Primeiro, vamos usar o primeiro elemento da primeira linha (chamado de pivô) para eliminar os coeficientes abaixo dele na primeira coluna.
Para isso, podemos fazer:
  • 3 - 32 times 2 = 3 - 3 = 0 -2 - 32 times 4 = -2 - 6 = -8 -4 - 32 times 6 = -4 - 9 = -13 -38 - 32 times (-6) = -38 + 9 = -29
  • 1 - 12 times 2 = 1 - 1 = 0 2 - 12 times 4 = 2 - 2 = 0 3 - 12 times 6 = 3 - 3 = 0 -3 - 12 times (-6) = -3 + 3 = 0
Aplicando essas operações:
Para 2 & 4 & 6 & | & -6 0 & -8 & -13 & | & -29 0 & 0 & 0 & | & 0 :
Para :
A matriz agora fica:

Passo 4

Observamos que a terceira linha se reduziu a zeros, o que indica que temos dependência linear e possivelmente infinitas soluções. Vamos continuar para simplificar a matriz.
Agora, vamos tornar o segundo pivô igual a 1. Para isso, dividimos a segunda linha por -8:
R2 = R2-8 Rightarrow [0 1 138 | 298]
A matriz fica:
2 & 4 & 6 & | & -6 0 & 1 & 138 & | & 298 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 5

Agora, vamos eliminar o coeficiente acima do pivô na segunda coluna. Para isso, fazemos:
R1 = R1 - 4R2
Calculando:
2 - 4 times 0 = 2 4 - 4 times 1 = 0 6 - 4 times 138 = 6 - 528 = 6 - 6.5 = -0.5 -6 - 4 times 298 = -6 - 1168 = -6 - 14.5 = -20.5
Convertendo para frações:
-0.5 = -12 -20.5 = -412
A matriz fica:
2 & 0 & -12 & | & -412 0 & 1 & 138 & | & 298 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 6

Agora, vamos simplificar a primeira linha dividindo por 2 para tornar o pivô igual a 1:
R1 = R12 Rightarrow [1 0 -14 | -414]
A matriz final está:
1 & 0 & -14 & | & -414 0 & 1 & 138 & | & 298 0 & 0 & 0 & | & 0

Resposta

A solução do sistema é:
x = -414 + 14z y = 298 - 138z z é um parâmetro livre éâ
Ou seja, em termos de (x, y, z) = (-414 + 14z, 298 - 138z, z) :

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