Demonstre a desigualdade de Schwarz

Passo 1

Vamos entender qual é o desafio aqui! A questão pede para demonstrar a Desigualdade de Cauchy-Schwarz, que é expressa por:
Matéria envolvida: Álgebra linear, especificamente produtos escalares (também conhecidos como produto interno) e normas de vetores.
O que precisamos: Precisamos usar propriedades de produtos escalares e explorar conceitos básicos de álgebra para chegar à demonstração dessa desigualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que cada termo significa:
  • Produto escalar ( ): É uma operação que combina dois vetores e resulta em um número (escalar). No caso de vetores em , é a soma dos produtos correspondentes das componentes.
  • Norma de um vetor ( ): É o comprimento do vetor, calculado como a raiz quadrada do produto escalar de um vetor consigo mesmo, ou seja, .

Passo 3

Vamos considerar que (se for zero, a desigualdade é trivially verdadeira). Definimos um novo vetor como:
Onde é um escalar que vamos determinar.

Passo 4

Sabemos que o produto escalar de qualquer vetor consigo mesmo é sempre não-negativo:
Substituindo :

Passo 5

Vamos expandir o produto escalar:
Isso se torna uma equação quadrática em relação a :

Passo 6

Para que essa desigualdade seja verdadeira para todo , o discriminante dessa equação quadrática deve ser menor ou igual a zero. O discriminante ( ) é:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 4:

Passo 7

Reorganizando a desigualdade:
Agora, tirando a raiz quadrada de ambos os lados (lembrando que as normas são sempre positivas):

Resposta

Assim, demonstramos que:

Exercícios relacionados

Dado o sistema:
(a) Escreva a matriz ampliada associada ao sistema e reduza-a a forma escada reduzida por linhas, para resolver o sistema original.
Dado o sistema:
(b) Determine o posto da matriz ampliada do item (a), o posto da matriz dos coeficientes e o grau de liberdade do sistema. Classifique o sistema em possível determinado (SPD), possível indeterminado (SPI) ou impossível (SI). Justifique.
Seja uma função. Se , então ? Prove ou dê um contra-exemplo.
dê a expressão para .