Demonstre a desigualdade de Schwarz
|u cdot v| <=|u||v|

Passo 1

Vamos entender qual é o desafio aqui! A questão pede para demonstrar a Desigualdade de Cauchy-Schwarz, que é expressa por:
|u cdot v| <= |u||v|
Matéria envolvida: Álgebra linear, especificamente produtos escalares (também conhecidos como produto interno) e normas de vetores.
O que precisamos: Precisamos usar propriedades de produtos escalares e explorar conceitos básicos de álgebra para chegar à demonstração dessa desigualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que cada termo significa:
  • Produto escalar ( ): É uma operação que combina dois vetores e resulta em um número (escalar). No caso de vetores em , é a soma dos produtos correspondentes das componentes.
  • Norma de um vetor ( ): É o comprimento do vetor, calculado como a raiz quadrada do produto escalar de um vetor consigo mesmo, ou seja, .

Passo 3

Vamos considerar que w = u - kv (se for zero, a desigualdade é trivially verdadeira). Definimos um novo vetor como:
Onde é um escalar que vamos determinar.

Passo 4

Sabemos que o produto escalar de qualquer vetor consigo mesmo é sempre não-negativo:
w cdot w >= 0
Substituindo (u - kv) cdot (u - kv) >= 0 :

Passo 5

Vamos expandir o produto escalar:
u cdot u - 2k(u cdot v) + k^2(v cdot v) >= 0
Isso se torna uma equação quadrática em relação a |u|^2 - 2k(u cdot v) + k^2|v|^2 >= 0 :

Passo 6

Para que essa desigualdade seja verdadeira para todo D = [ -2(u cdot v) ]^2 - 4 cdot |v|^2 cdot |u|^2 <= 0 , o discriminante dessa equação quadrática deve ser menor ou igual a zero. O discriminante ( 4(u cdot v)^2 - 4|u|^2|v|^2 <= 0 ) é:
(u cdot v)^2 - |u|^2|v|^2 <= 0
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 4:

Passo 7

Reorganizando a desigualdade:
(u cdot v)^2 <= |u|^2|v|^2
Agora, tirando a raiz quadrada de ambos os lados (lembrando que as normas são sempre positivas):
|u cdot v| <= |u||v|

Resposta

Assim, demonstramos que:
|u cdot v| <= |u||v|

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