Vamos entender qual é o desafio aqui! A questão pede para demonstrar a Desigualdade de Cauchy-Schwarz, que é expressa por:
Matéria envolvida: Álgebra linear, especificamente produtos escalares (também conhecidos como produto interno) e normas de vetores.
O que precisamos: Precisamos usar propriedades de produtos escalares e explorar conceitos básicos de álgebra para chegar à demonstração dessa desigualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que cada termo significa:
Produto escalar (): É uma operação que combina dois vetores e resulta em um número (escalar). No caso de vetores em , é a soma dos produtos correspondentes das componentes.
Norma de um vetor (): É o comprimento do vetor, calculado como a raiz quadrada do produto escalar de um vetor consigo mesmo, ou seja, .
Passo 3
Vamos considerar que (se for zero, a desigualdade é trivially verdadeira). Definimos um novo vetor como:
Onde é um escalar que vamos determinar.
Passo 4
Sabemos que o produto escalar de qualquer vetor consigo mesmo é sempre não-negativo:
Substituindo :
Passo 5
Vamos expandir o produto escalar:
Isso se torna uma equação quadrática em relação a :
Passo 6
Para que essa desigualdade seja verdadeira para todo , o discriminante dessa equação quadrática deve ser menor ou igual a zero. O discriminante () é:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 4:
Passo 7
Reorganizando a desigualdade:
Agora, tirando a raiz quadrada de ambos os lados (lembrando que as normas são sempre positivas):