Exercício 2. Dadas linear, base de e base de , calcule .
(d) dada por e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a matriz de transformação linear , onde é definida por . Estamos usando a base para e a base para . Vamos precisar aplicar aos vetores da base e expressar os resultados na base .
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformação ao primeiro vetor da base , que é . Substituindo , e na fórmula de , temos:
Passo 3
Agora, precisamos expressar na base . Vamos encontrar escalares , , tais que:
Expandindo e igualando os coeficientes:
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo:
Portanto, na base é .
Passo 4
Agora, vamos aplicar ao segundo vetor da base , que é . Substituindo , e na fórmula de , temos:
Passo 5
Expressando na base , notamos que é exatamente o primeiro vetor da base . Logo, os coeficientes são , e . Portanto, na base é .
Passo 6
Por fim, vamos aplicar ao terceiro vetor da base , que é . Substituindo , e na fórmula de , temos:
Passo 7
Expressando na base , encontramos os coeficientes , , tais que: