Exercício 2. Dadas T: V W linear, alpha base de V e beta base de W, calcule [T]beta^alpha.
(d) T: R^3 P2(R) dada por T(a, b, c)=(a+b+c)+(-a+b+c) x+(a+c) x^2, alpha=(1,0,1),(1,0,0),(1,1,1) e beta=1-x+x^2, x+x^2, x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a matriz de transformação linear [T]beta^alpha, onde T: R^3 P2(R) é definida por T(a, b, c)=(a+b+c) + (-a+b+c) x + (a+c) x^2. Estamos usando a base alpha=(1,0,1),(1,0,0),(1,1,1) para R^3 e a base beta=1-x+x^2, x+x^2, x^2 para P2(R). Vamos precisar aplicar T aos vetores da base alpha e expressar os resultados na base beta.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação T ao primeiro vetor da base alpha, que é (1,0,1). Substituindo a=1, b=0 e c=1 na fórmula de T, temos:
T(1, 0, 1) = (1+0+1) + (-1+0+1)x + (1+1)x^2 = 2 + 0x + 2x^2 = 2 + 2x^2

Passo 3

Agora, precisamos expressar T(1, 0, 1) = 2 + 2x^2 na base beta = 1 - x + x^2, x + x^2, x^2. Vamos encontrar escalares k1, k2, k3 tais que:
2 + 2x^2 = k1(1 - x + x^2) + k2(x + x^2) + k3x^2
Expandindo e igualando os coeficientes:
2 + 0x + 2x^2 = k1 + (-k1 + k2)x + (k1 + k2 + k3)x^2
Isso nos dá o sistema:
k1 = 2 -k1 + k2 = 0 k1 + k2 + k3 = 2
Resolvendo:
k1 = 2 -2 + k2 = 0 Rightarrow k2 = 2 2 + 2 + k3 = 2 Rightarrow k3 = -2
Portanto, T(1, 0, 1) na base beta é (2, 2, -2).

Passo 4

Agora, vamos aplicar T ao segundo vetor da base alpha, que é (1,0,0). Substituindo a=1, b=0 e c=0 na fórmula de T, temos:
T(1, 0, 0) = (1+0+0) + (-1+0+0)x + (1+0)x^2 = 1 - x + x^2

Passo 5

Expressando T(1, 0, 0) = 1 - x + x^2 na base beta, notamos que é exatamente o primeiro vetor da base beta. Logo, os coeficientes são k1=1, k2=0 e k3=0. Portanto, T(1, 0, 0) na base beta é (1, 0, 0).

Passo 6

Por fim, vamos aplicar T ao terceiro vetor da base alpha, que é (1,1,1). Substituindo a=1, b=1 e c=1 na fórmula de T, temos:
T(1, 1, 1) = (1+1+1) + (-1+1+1)x + (1+1)x^2 = 3 + 1x + 2x^2

Passo 7

Expressando T(1, 1, 1) = 3 + x + 2x^2 na base beta, encontramos os coeficientes k1, k2, k3 tais que:
3 + x + 2x^2 = k1(1 - x + x^2) + k2(x + x^2) + k3x^2
Expandindo e igualando os coeficientes:
3 + x + 2x^2 = k1 + (-k1 + k2)x + (k1 + k2 + k3)x^2
Isso nos dá o sistema:
k1 = 3 -k1 + k2 = 1 k1 + k2 + k3 = 2
Resolvendo:
k1 = 3 -3 + k2 = 1 Rightarrow k2 = 4 3 + 4 + k3 = 2 Rightarrow k3 = -5
Portanto, T(1, 1, 1) na base beta é (3, 4, -5).

Resposta

A matriz de transformação [T]beta^alpha é:
[T]beta^alpha = 2 & 1 & 3 2 & 0 & 4 -2 & 0 & -5

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