Exercício 2. Dadas linear, base de e base de , calcule .
(d) dada por e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a matriz de transformação linear , onde é definida por . Estamos usando a base para e a base para . Vamos precisar aplicar aos vetores da base e expressar os resultados na base .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação ao primeiro vetor da base , que é . Substituindo , e na fórmula de , temos:

Passo 3

Agora, precisamos expressar na base . Vamos encontrar escalares , , tais que:
Expandindo e igualando os coeficientes:
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo:
Portanto, na base é .

Passo 4

Agora, vamos aplicar ao segundo vetor da base , que é . Substituindo , e na fórmula de , temos:

Passo 5

Expressando na base , notamos que é exatamente o primeiro vetor da base . Logo, os coeficientes são , e . Portanto, na base é .

Passo 6

Por fim, vamos aplicar ao terceiro vetor da base , que é . Substituindo , e na fórmula de , temos:

Passo 7

Expressando na base , encontramos os coeficientes , , tais que:
Expandindo e igualando os coeficientes:
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo:
Portanto, na base é .

Resposta

A matriz de transformação é:

Exercícios relacionados

Exercício 2. Dadas linear, base de e base de , calcule .
© dada por .
Exercício 2. Dadas linear, base de e base de , calcule .
(b) dada por e .
Determine o módulo do vetor , sabendo que resulta em um vetor na direção positiva do semieixo com módulo igual ao de , onde .
Dado o sistema:
(b) Determine o posto da matriz ampliada do item (a), o posto da matriz dos coeficientes e o grau de liberdade do sistema. Classifique o sistema em possível determinado (SPD), possível indeterminado (SPI) ou impossível (SI). Justifique.