Seja
uma função. Se
, então
? Prove ou dê um contra-exemplo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre funções entre conjuntos e a relação entre um conjunto
e sua pré-imagem e imagem através da função
. Precisamos descobrir se, para qualquer
, a aplicação de
na pré-imagem de
nos devolve exatamente
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pré-imagem e imagem de um conjunto por uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a pré-imagem de
por
. A pré-imagem, denotada por
, é o conjunto de todos os elementos em
que são mapeados para elementos em
. Matematicamente, isso é definido como:
Ou seja, pegamos todos os
em
que, ao aplicar
, dão um resultado que está dentro de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar
novamente nessa pré-imagem. Ou seja, queremos calcular
. Isso significa pegar todos os elementos em
e aplicar
neles:
Por definição de pré-imagem, todos esses
já estão em
. Portanto, sempre teremos que
.
Passo 4
Mas a pergunta é se
sempre. Ou seja, queremos saber se todos os elementos de
estão realmente em
. Acontece que isso nem sempre é verdadeiro. Para que isso aconteça,
precisa estar completamente dentro da imagem de
, ou seja, todo elemento de
deve ser resultado de
para algum
em
.
Passo 5
Vamos ver um exemplo para esclarecer isso. Imagine a função
definida por
. Escolha o conjunto
.
Primeiro, calculamos a pré-imagem de
:
Como
nunca é negativo, temos:
Agora, aplicamos
nessa pré-imagem:
Perceba que
e
. Claramente,
porque falta o elemento
em
.
Resposta
Não,
nem sempre é igual a
. No exemplo dado, escolhendo
e
, vimos que
que é diferente de
. Portanto, a igualdade não se mantém em geral.