Seja uma função. Se , então ? Prove ou dê um contra-exemplo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre funções entre conjuntos e a relação entre um conjunto e sua pré-imagem e imagem através da função . Precisamos descobrir se, para qualquer , a aplicação de na pré-imagem de nos devolve exatamente . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pré-imagem e imagem de um conjunto por uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a pré-imagem de por . A pré-imagem, denotada por , é o conjunto de todos os elementos em que são mapeados para elementos em . Matematicamente, isso é definido como:
Ou seja, pegamos todos os em que, ao aplicar , dão um resultado que está dentro de .
Passo 3
Agora, vamos aplicar novamente nessa pré-imagem. Ou seja, queremos calcular . Isso significa pegar todos os elementos em e aplicar neles:
Por definição de pré-imagem, todos esses já estão em . Portanto, sempre teremos que .
Passo 4
Mas a pergunta é se sempre. Ou seja, queremos saber se todos os elementos de estão realmente em . Acontece que isso nem sempre é verdadeiro. Para que isso aconteça, precisa estar completamente dentro da imagem de , ou seja, todo elemento de deve ser resultado de para algum em .
Passo 5
Vamos ver um exemplo para esclarecer isso. Imagine a função definida por . Escolha o conjunto .
Primeiro, calculamos a pré-imagem de :
Como nunca é negativo, temos:
Agora, aplicamos nessa pré-imagem:
Perceba que e . Claramente, porque falta o elemento em .
Resposta
Não, nem sempre é igual a . No exemplo dado, escolhendo e , vimos que que é diferente de . Portanto, a igualdade não se mantém em geral.