Seja f: A B uma função. Se Y subseteq B, então f(f^-1(Y))=Y ? Prove ou dê um contra-exemplo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre funções entre conjuntos e a relação entre um conjunto e sua pré-imagem e imagem através da função . Precisamos descobrir se, para qualquer , a aplicação de na pré-imagem de nos devolve exatamente . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pré-imagem e imagem de um conjunto por uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a pré-imagem de f^-1(Y) = x in A mid f(x) in Y por . A pré-imagem, denotada por , é o conjunto de todos os elementos em que são mapeados para elementos em . Matematicamente, isso é definido como:
Ou seja, pegamos todos os em que, ao aplicar , dão um resultado que está dentro de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar f(f^-1(Y)) = f(x) mid x in f^-1(Y) novamente nessa pré-imagem. Ou seja, queremos calcular . Isso significa pegar todos os elementos em e aplicar neles:
Por definição de pré-imagem, todos esses já estão em . Portanto, sempre teremos que .

Passo 4

Mas a pergunta é se sempre. Ou seja, queremos saber se todos os elementos de estão realmente em . Acontece que isso nem sempre é verdadeiro. Para que isso aconteça, precisa estar completamente dentro da imagem de , ou seja, todo elemento de deve ser resultado de para algum em .

Passo 5

Vamos ver um exemplo para esclarecer isso. Imagine a função f^-1(Y) = x in R mid x^2 in -1, 1 definida por f^-1(Y) = x in R mid x^2 = 1 = -1, 1 . Escolha o conjunto f(f^-1(Y)) = f(-1, 1) = f(-1), f(1) = 1, 1 = 1 .
Primeiro, calculamos a pré-imagem de :
Como nunca é negativo, temos:
Agora, aplicamos nessa pré-imagem:
Perceba que e . Claramente, porque falta o elemento em .

Resposta

Não, nem sempre é igual a . No exemplo dado, escolhendo e , vimos que que é diferente de . Portanto, a igualdade não se mantém em geral.

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