Dado o sistema linear abaixo, analise as seguintes afirmativas:
[ccc 3 & 4 & -6 0 & 16 & b 1 & -4 & 2 ] cdot[l x y z ]=[c -3 a 3 ]
I. Se b neq-12, o sistema linear terá uma única solução.
II. Se a=b=-12, o sistema linear terá infinitas soluções.
III. Se b=-12, o sistema será impossível.
a) Todas as afirmativas são corretas.
b) Todas as afirmativas são incorretas.
c) Somente as afirmativas I e III são corretas. e) Somente as afirmativas II e III são corretas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema linear com três equações e três incógnitas. O conteúdo aqui envolve álgebra linear, especificamente sistemas de equações lineares. Para resolver, vamos analisar o determinante da matriz dos coeficientes e ver quando o sistema tem soluções únicas, infinitas ou nenhuma solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes e encontrar o seu determinante. A matriz é:
3 & 4 & -6 0 & 16 & b 1 & -4 & 2
O determinante dessa matriz ( ) nos ajudará a saber se o sistema tem uma única solução (quando ) ou infinitas/não tem solução (quando ).

Passo 3

Calculando o determinante usando a regra de Sarrus ou a expansão de Laplace. Vamos expandir pela primeira linha:
De
Simplificando:
De
De
De
De

Passo 4

Para saber quando o determinante é zero:
192 + 16b = 0 implies 16b = -192 implies b = -12
Então, quando , indicando que o sistema tem uma única solução nesse caso.

Passo 5

Agora, quando , o determinante é zero. Precisamos verificar se o sistema possui soluções ou não. Substituindo na matriz aumentada e verificando a consistência das equações.

Passo 6

Com 0x + 16y -12z = a , a segunda equação fica:
x -4y + 2z = 3
E a terceira equação é:
x = 3 + 4y - 2z
Vamos expressar 3(3 + 4y - 2z) + 4y -6z = -3 da terceira equação:
9 + 12y -6z +4y -6z = -3
Substituindo na primeira equação:
16y -12z = -12
4y -3z = -3
4y -3z = -3 (1)
Dividindo por 4:
16y -12z = a (2)
Agora, temos:
Note que a equação (2) é equivalente a 4 vezes a equação (1). Portanto, para que o sistema seja consistente, deve ser igual a .

Passo 7

Se e , o sistema possui infinitas soluções, pois as equações são dependentes. Se com , o sistema é impossível, ou seja, não tem solução.

Resposta

A alternativa correta é a letra c) Somente as afirmativas I e III são corretas.

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