Dado o sistema linear abaixo, analise as seguintes afirmativas:
I. Se b neq-12, o sistema linear terá uma única solução.
II. Se a=b=-12, o sistema linear terá infinitas soluções.
III. Se b=-12, o sistema será impossível.
a) Todas as afirmativas são corretas.
b) Todas as afirmativas são incorretas.
c) Somente as afirmativas I e III são corretas. e) Somente as afirmativas II e III são corretas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema linear com três equações e três incógnitas. O conteúdo aqui envolve álgebra linear, especificamente sistemas de equações lineares. Para resolver, vamos analisar o determinante da matriz dos coeficientes e ver quando o sistema tem soluções únicas, infinitas ou nenhuma solução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes e encontrar o seu determinante. A matriz é:
3 & 4 & -6 0 & 16 & b 1 & -4 & 2
O determinante dessa matriz () nos ajudará a saber se o sistema tem uma única solução (quando ) ou infinitas/não tem solução (quando ).
Passo 3
Calculando o determinante usando a regra de Sarrus ou a expansão de Laplace. Vamos expandir pela primeira linha:
De
Simplificando:
De
De
De
De
Passo 4
Para saber quando o determinante é zero:
192 + 16b = 0 implies 16b = -192 implies b = -12
Então, quando , indicando que o sistema tem uma única solução nesse caso.
Passo 5
Agora, quando , o determinante é zero. Precisamos verificar se o sistema possui soluções ou não. Substituindo na matriz aumentada e verificando a consistência das equações.