Verifique, usando a definição, se os vetores dados são autovetores dos operadores abaixo:
v=(-2,1,3) T: R^3 R^2 tal que T(x, y, z)=(x-y, 2 x+3 y, x+2 y+z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar, usando a definição, se o vetor é um autovetor do operador definido por . Para isso, vamos precisar entender o que é um autovetor e como aplicar a definição para verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um autovetor. Um vetor T(v) = lambda v é um autovetor de um operador linear se, ao aplicar em , o resultado for um múltiplo de . Ou seja, existe um escalar tal que:

Passo 3

Vamos aplicar T(-2, 1, 3) = ( (-2) - 1, 2(-2) + 3(1), (-2) + 2(1) + 3 ) no vetor T(-2, 1, 3) = (-3, -4 + 3, -2 + 2 + 3) = (-3, -1, 3) . Substituindo os valores na definição de :
Calculando cada componente:

Passo 4

Agora, para que (-3, -1, 3) = lambda (-2, 1, 3) seja um autovetor, precisamos que -3 = -2lambda -1 = lambda 3 = 3lambda . Vamos ver se existe um escalar tal que:
Isso implica que:

Passo 5

Vamos resolver as equações:
  1. De , temos .
  2. Substituindo na segunda equação: resulta em , o que não é verdade.
  3. Substituindo na terceira equação: resulta em , também não é verdade.

Resposta

Como não existe um escalar que satisfaça todas as equações simultaneamente, concluímos que o vetor não é um autovetor do operador .

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