Verifique, usando a definição, se os vetores dados são autovetores dos operadores abaixo:
tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar, usando a definição, se o vetor
é um autovetor do operador
definido por
. Para isso, vamos precisar entender o que é um autovetor e como aplicar a definição para verificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um autovetor. Um vetor
é um autovetor de um operador linear
se, ao aplicar
em
, o resultado for um múltiplo de
. Ou seja, existe um escalar
tal que:
Passo 3
Vamos aplicar
no vetor
. Substituindo os valores na definição de
:
Calculando cada componente:
Passo 4
Agora, para que
seja um autovetor, precisamos que
. Vamos ver se existe um escalar
tal que:
Isso implica que:
Passo 5
Vamos resolver as equações:
- De
, temos . - Substituindo
na segunda equação: resulta em , o que não é verdade. - Substituindo
na terceira equação: resulta em , também não é verdade.
Resposta
Como não existe um escalar
que satisfaça todas as equações simultaneamente, concluímos que o vetor
não é um autovetor do operador
.