Determine se o conjunto (x1, x2): x1 cdot x2=0 é um subespaço de R^2.

Passo 1

Vamos resolver a seguinte questão: Determinar se o conjunto (x1, x2): x1 cdot x2=0 é um subespaço de R^2.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente os critérios que definem se um conjunto é um subespaço vetorial. Precisaremos verificar se o conjunto satisfaz três propriedades fundamentais: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que o conjunto contenha o vetor zero. O vetor zero em R^2 é (0, 0). Substituindo x1 = 0 e x2 = 0 na condição dada:
0 cdot 0 = 0
Como a equação é verdadeira, o vetor zero está no conjunto. Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 3

Segundo, precisamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer do conjunto, a soma deles também deve estar no conjunto.
Vamos considerar dois vetores quaisquer:
  • u = (x1, 0), onde x1 cdot 0 = 0
  • v = (0, x2), onde 0 cdot x2 = 0
A soma deles é:
u + v = (x1 + 0, 0 + x2) = (x1, x2)
Agora, verificamos se (x1, x2) pertence ao conjunto:
x1 cdot x2 = 0
Para que isso seja sempre verdadeiro, pelo menos um dos componentes deve ser zero. Porém, se escolhermos u = (1, 0) e v = (0, 1), então:
u + v = (1, 1)
E:
1 cdot 1 = 1 neq 0
Então, (1, 1) não está no conjunto, o que significa que o conjunto não é fechado sob adição.

Passo 4

Terceiro, mesmo já sabendo que o conjunto não é fechado sob adição, vamos verificar a fechadura sob multiplicação por escalar para completar o entendimento.
Seja um vetor u = (x1, 0) e um escalar k, então:
k cdot u = (k cdot x1, k cdot 0) = (k x1, 0)
E:
k x1 cdot 0 = 0
Então, o vetor multiplicado por escalar ainda está no conjunto.
No entanto, como já vimos que a segunda condição não é satisfeita, isso não é suficiente para que o conjunto seja um subespaço.

Resposta

O conjunto (x1, x2): x1 cdot x2=0 não é um subespaço de R^2 porque não é fechado sob adição.

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