Determine se o conjunto
é um subespaço de
.
Passo 1
Vamos resolver a seguinte questão: Determinar se o conjunto
é um subespaço de
.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente os critérios que definem se um conjunto é um subespaço vetorial. Precisaremos verificar se o conjunto satisfaz três propriedades fundamentais: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que o conjunto contenha o vetor zero. O vetor zero em
é
. Substituindo
e
na condição dada:
Como a equação é verdadeira, o vetor zero está no conjunto. Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 3
Segundo, precisamos verificar se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer do conjunto, a soma deles também deve estar no conjunto.
Vamos considerar dois vetores quaisquer:
-
, onde -
, onde
A soma deles é:
Agora, verificamos se
pertence ao conjunto:
Para que isso seja sempre verdadeiro, pelo menos um dos componentes deve ser zero. Porém, se escolhermos
e
, então:
E:
Então,
não está no conjunto, o que significa que o conjunto não é fechado sob adição.
Passo 4
Terceiro, mesmo já sabendo que o conjunto não é fechado sob adição, vamos verificar a fechadura sob multiplicação por escalar para completar o entendimento.
Seja um vetor
e um escalar
, então:
E:
Então, o vetor multiplicado por escalar ainda está no conjunto.
No entanto, como já vimos que a segunda condição não é satisfeita, isso não é suficiente para que o conjunto seja um subespaço.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço de
porque não é fechado sob adição.