Determine se o conjunto (x1, x2): x1=3 x2 é um subespaço de R^2.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de pontos no plano, onde cada ponto satisfaz a condição . Queremos saber se esse conjunto é um subespaço do . Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial e verificar se nosso conjunto atende a esses critérios.

Passo 2

Um subespaço vetorial precisa satisfazer três condições principais:
  1. Conter o vetor zero: O ponto deve estar no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se pegarmos dois vetores no conjunto e somarmos, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos qualquer vetor do conjunto por um número qualquer, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando o vetor zero:
O vetor zero em x1 = 3x2 é 0 = 3 times 0 . Vamos ver se ele está no nosso conjunto:
0 = 0
Como a igualdade é verdadeira, pertence ao conjunto.

Passo 4

2. Verificando a fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer no conjunto:
u = (3a, a)
v = (3b, b)
Onde u + v = (3a + 3b, a + b) = (3(a + b), a + b) e 3(a + b) = 3 times (a + b) são números reais. Agora, somamos esses vetores:
Observamos que o primeiro componente é três vezes o segundo componente:
Isso mostra que também satisfaz a condição , portanto, está no conjunto.

Passo 5

3. Verificando a fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer no conjunto e multiplicá-lo por um escalar u = (3a, a) :
ku = (k times 3a, k times a) = (3(ka), ka)
3(ka) = 3 times (ka)
Aqui, o primeiro componente é três vezes o segundo componente:
Portanto, também satisfaz e pertence ao conjunto.

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço de , pois contém o vetor zero e é fechado sob adição e multiplicação por escalar.

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