Determine se o conjunto
é um subespaço de
.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de pontos no plano, onde cada ponto
satisfaz a condição
. Queremos saber se esse conjunto é um subespaço do
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial e verificar se nosso conjunto atende a esses critérios.
Passo 2
Um subespaço vetorial precisa satisfazer três condições principais:
- Conter o vetor zero: O ponto
deve estar no conjunto. - Fechado sob adição: Se pegarmos dois vetores no conjunto e somarmos, o resultado também deve estar no conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos qualquer vetor do conjunto por um número qualquer, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele está no nosso conjunto:
Como a igualdade é verdadeira,
pertence ao conjunto.
Passo 4
2. Verificando a fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer no conjunto:
Onde
e
são números reais. Agora, somamos esses vetores:
Observamos que o primeiro componente é três vezes o segundo componente:
Isso mostra que
também satisfaz a condição
, portanto, está no conjunto.
Passo 5
3. Verificando a fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer no conjunto e multiplicá-lo por um escalar
:
Aqui, o primeiro componente é três vezes o segundo componente:
Portanto,
também satisfaz
e pertence ao conjunto.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço de
, pois contém o vetor zero e é fechado sob adição e multiplicação por escalar.