Determine se o conjunto
é um subespaço de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão quer saber se o conjunto
é um subespaço de
. Isso envolve conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos verificar se esse conjunto satisfaz três condições necessárias para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
A primeira condição para ser um subespaço é que o vetor zero esteja no conjunto. O vetor zero em
é
. Vamos verificar se ele satisfaz a condição do conjunto:
Sim,
, então o vetor zero está no conjunto.
Passo 3
A segunda condição é que o conjunto seja fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores que pertencem ao conjunto, a soma deles também deve pertencer ao conjunto. Vamos considerar dois vetores quaisquer no conjunto:
Com a condição:
Agora, somamos esses vetores:
Para que a soma pertença ao conjunto, deve ser que:
No entanto, isso nem sempre é verdade. Por exemplo, se escolhermos
e
, temos:
Aqui,
, então a soma não pertence ao conjunto.
Passo 4
Como já encontramos que o conjunto não é fechado sob adição, não é necessário verificar a terceira condição (fechado sob multiplicação por escalar). A falta de uma das condições já impede que o conjunto seja um subespaço.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço de
porque não é fechado sob adição.