Determine se o conjunto (x1, x2):|x1|=|x2| é um subespaço de R^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão quer saber se o conjunto (x1, x2):|x1|=|x2| é um subespaço de R^2. Isso envolve conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos verificar se esse conjunto satisfaz três condições necessárias para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

A primeira condição para ser um subespaço é que o vetor zero esteja no conjunto. O vetor zero em R^2 é (0, 0). Vamos verificar se ele satisfaz a condição do conjunto:
|0| = |0|
Sim, 0 = 0, então o vetor zero está no conjunto.

Passo 3

A segunda condição é que o conjunto seja fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores que pertencem ao conjunto, a soma deles também deve pertencer ao conjunto. Vamos considerar dois vetores quaisquer no conjunto:
(x1, x2) e (y1, y2)
Com a condição:
|x1| = |x2| e |y1| = |y2|
Agora, somamos esses vetores:
(x1 + y1, x2 + y2)
Para que a soma pertença ao conjunto, deve ser que:
|x1 + y1| = |x2 + y2|
No entanto, isso nem sempre é verdade. Por exemplo, se escolhermos (1, 1) e (1, -1), temos:
|1 + 1| = 2 e |1 + (-1)| = 0
Aqui, 2 neq 0, então a soma não pertence ao conjunto.

Passo 4

Como já encontramos que o conjunto não é fechado sob adição, não é necessário verificar a terceira condição (fechado sob multiplicação por escalar). A falta de uma das condições já impede que o conjunto seja um subespaço.

Resposta

O conjunto (x1, x2):|x1|=|x2| não é um subespaço de R^2 porque não é fechado sob adição.

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