Dado o sistema linear abaixo, determine condições sobre os parâmetros a e b de modo que o sistema abaixo possua:
i) uma única solução
ii) nenhuma solução
iii) infinitas soluções. Nesse caso, determine o conjunto solução do sistema.
(SPD)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício! A gente tem um sistema de três equações lineares com três incógnitas , e , mas com uns parâmetros e na terceira equação. O objetivo é descobrir quais valores de e fazem o sistema ter:
  1. Uma única solução
  2. Nenhuma solução
  3. Infinitas soluções (e, nesse caso, encontrar o conjunto solução)
Para resolver isso, a gente vai usar a Regra de Cramer e o conceito de determinante. Esses conceitos ajudam a entender quando um sistema de equações tem solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
x + 4y + 3z = 10 2x + 7y - 2z = 10 x + 5y + a z = b
A gente vai representar esse sistema na forma matricial A = 1 & 4 & 3 2 & 7 & -2 1 & 5 & a , X = x y z , B = 10 10 b , onde:
Para usar a Regra de Cramer, precisamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes . Se o determinante de ( ) for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, pode ter nenhuma solução ou infinitas soluções, dependendo dos valores de e .

Passo 3

Vamos calcular o determinante de |A| = 1 & 4 & 3 2 & 7 & -2 1 & 5 & a :
|A| = 1 cdot (7 cdot a - (-2) cdot 5) - 4 cdot (2 cdot a - (-2) cdot 1) + 3 cdot (2 cdot 5 - 7 cdot 1)
O determinante de uma matriz |A| = (7a + 10) + (-8a - 8) + 9 = -a + 11 pode ser calculado usando a regra de Sarrus:
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:
Então,

Passo 4

Agora, vamos analisar os casos:
  1. Uma única solução: Quando
  2. Nenhuma solução ou infinitas soluções: Quando
Vamos ver cada caso detalhadamente.

Passo 5

1. Uma única solução ( -a + 11 neq 0 implies a neq 11 )

Para que o determinante seja diferente de zero:
-a + 11 = 0 implies a = 11
Então, sempre que , o sistema terá uma única solução para qualquer valor de .

2. Nenhuma solução ou infinitas soluções ( )

Agora, quando :
Com , o sistema pode ter nenhuma solução ou infinitas soluções, dependendo do valor de .
Para diferenciar esses dois casos, vamos substituir na terceira equação e verificar a consistência do sistema.

Passo 6

Substituindo x + 5y + 11z = b na terceira equação:
x + 4y + 3z = 10 2x + 7y - 2z = 10 x + 5y + 11z = b
Agora, temos o sistema:
2(x + 4y + 3z) = 2 cdot 10 implies 2x + 8y + 6z = 20
Vamos resolver as duas primeiras equações para expressar (2x + 7y - 2z) - (2x + 8y + 6z) = 10 - 20 e - y - 8z = -10 implies y + 8z = 10 em função de x + 4y + 3z = 10 implies x = 10 - 4y - 3z , e depois ver o que acontece com a terceira equação.

Resolver as duas primeiras equações:

Vamos multiplicar a primeira equação por 2 e subtrair da segunda para eliminar x = 10 - 4(10 - 8z) - 3z = 10 - 40 + 32z - 3z = -30 + 29z :
x = -30 + 29z y = 10 - 8z
Subtraindo da segunda equação:
x + 5y + 11z = b (-30 + 29z) + 5(10 - 8z) + 11z = b -30 + 29z + 50 - 40z + 11z = b (-30 + 50) + (29z - 40z + 11z) = b 20 + 0z = b implies 20 = b
Agora, da primeira equação:
Com , substituímos:
Então, temos:

Substituir na terceira equação:

Então, para que o sistema seja consistente ( ), teremos infinitas soluções. Se , o sistema será inconsistente, ou seja, nenhuma solução.

Passo 7

Resumindo os resultados:
  1. Uma única solução: Quando x = -30 + 29z y = 10 - 8z z é qualquer número real , independente do valor de (x, y, z) = (-30 + 29z, , 10 - 8z, , z) com z in R .
  2. Nenhuma solução: Quando e .
  3. Infinitas soluções: Quando e . Nesse caso, o conjunto solução é dado por: éúOu seja, podemos expressar as soluções em termos de :

Resposta

  1. Uma única solução: Para qualquer (x, y, z) = (-30 + 29z, , 10 - 8z, , z) para todo z in R , independentemente de .
  2. Nenhuma solução: Quando e .
  3. Infinitas soluções: Quando e , com o conjunto solução dado por:

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