Dado o sistema linear abaixo, determine condições sobre os parâmetros e de modo que o sistema abaixo possua:
i) uma única solução
ii) nenhuma solução
iii) infinitas soluções. Nesse caso, determine o conjunto solução do sistema.
(SPD)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício! A gente tem um sistema de três equações lineares com três incógnitas , e , mas com uns parâmetros e na terceira equação. O objetivo é descobrir quais valores de e fazem o sistema ter:
Uma única solução
Nenhuma solução
Infinitas soluções (e, nesse caso, encontrar o conjunto solução)
Para resolver isso, a gente vai usar a Regra de Cramer e o conceito de determinante. Esses conceitos ajudam a entender quando um sistema de equações tem solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
A gente vai representar esse sistema na forma matricial A = 1 & 4 & 3 2 & 7 & -2 1 & 5 & a , X = x y z , B = 10 10 b , onde:
Para usar a Regra de Cramer, precisamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes . Se o determinante de () for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, pode ter nenhuma solução ou infinitas soluções, dependendo dos valores de e .
Passo 3
Vamos calcular o determinante de |A| = 1 & 4 & 3 2 & 7 & -2 1 & 5 & a :
Vamos resolver as duas primeiras equações para expressar (2x + 7y - 2z) - (2x + 8y + 6z) = 10 - 20 e - y - 8z = -10 implies y + 8z = 10 em função de x + 4y + 3z = 10 implies x = 10 - 4y - 3z , e depois ver o que acontece com a terceira equação.
Resolver as duas primeiras equações:
Vamos multiplicar a primeira equação por 2 e subtrair da segunda para eliminar x = 10 - 4(10 - 8z) - 3z = 10 - 40 + 32z - 3z = -30 + 29z :
x = -30 + 29z y = 10 - 8z
Subtraindo da segunda equação:
x + 5y + 11z = b (-30 + 29z) + 5(10 - 8z) + 11z = b -30 + 29z + 50 - 40z + 11z = b (-30 + 50) + (29z - 40z + 11z) = b 20 + 0z = b implies 20 = b
Agora, da primeira equação:
Com , substituímos:
Então, temos:
Substituir na terceira equação:
Então, para que o sistema seja consistente (), teremos infinitas soluções. Se , o sistema será inconsistente, ou seja, nenhuma solução.
Passo 7
Resumindo os resultados:
Uma única solução: Quando x = -30 + 29z y = 10 - 8z z é qualquer número real , independente do valor de (x, y, z) = (-30 + 29z, , 10 - 8z, , z) com z in R .
Nenhuma solução: Quando e .
Infinitas soluções: Quando e . Nesse caso, o conjunto solução é dado por:éúOu seja, podemos expressar as soluções em termos de :
Resposta
Uma única solução: Para qualquer (x, y, z) = (-30 + 29z, , 10 - 8z, , z) para todo z in R , independentemente de .
Nenhuma solução: Quando e .
Infinitas soluções: Quando e , com o conjunto solução dado por: