Sejam um tetraedro, e o baricentro (encontro das três medianas de uma triângulo) da face .
(2) Pesquise como escrevemos em função de A B e A C (FEITO EM A ULA), e calcule as coordenadas de O G nesta base.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um tetraedro e que é o baricentro da face . O baricentro é o ponto onde as três medianas de um triângulo se encontram, basicamente o “centro de massa” do triângulo. A gente quer escrever o vetor em função dos vetores e , e depois calcular as coordenadas de nessa base. Vamos precisar usar conceitos de geometria vetorial, especialmente relacionados a baricentros e combinações lineares de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como expressar AG = 13AB + 13AC usando e . Como é o baricentro do triângulo , ele divide cada mediana na razão . Então, é igual a um terço da soma de e . Matemáticamente, isso fica:
Passo 3
Agora, queremos encontrar OG = OA + AG . Sabemos que OG = OA + 13AB + 13AC é o vértice do tetraedro, então podemos relacionar com e . A relação é:
Substituindo pela expressão que encontramos:
Passo 4
Para facilitar, vamos considerar OG = 13AB + 13AC como a origem, ou seja, . Assim, a expressão simplifica para:
Passo 5
Portanto, as coordenadas de OG = ( 13, 13 ) na base formada por e são simplesmente os coeficientes que multiplicam esses vetores na expressão acima. Então, temos: