Sejam O A B C um tetraedro, e G o baricentro (encontro das três medianas de uma triângulo) da face A B C.
(2) Pesquise como escrevemos A G em função de A B e A C (FEITO EM A ULA), e calcule as coordenadas de O G nesta base.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um tetraedro e que é o baricentro da face . O baricentro é o ponto onde as três medianas de um triângulo se encontram, basicamente o “centro de massa” do triângulo. A gente quer escrever o vetor em função dos vetores e , e depois calcular as coordenadas de nessa base. Vamos precisar usar conceitos de geometria vetorial, especialmente relacionados a baricentros e combinações lineares de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expressar AG = 13AB + 13AC usando e . Como é o baricentro do triângulo , ele divide cada mediana na razão . Então, é igual a um terço da soma de e . Matemáticamente, isso fica:

Passo 3

Agora, queremos encontrar OG = OA + AG . Sabemos que OG = OA + 13AB + 13AC é o vértice do tetraedro, então podemos relacionar com e . A relação é:
Substituindo pela expressão que encontramos:

Passo 4

Para facilitar, vamos considerar OG = 13AB + 13AC como a origem, ou seja, . Assim, a expressão simplifica para:

Passo 5

Portanto, as coordenadas de OG = ( 13, 13 ) na base formada por e são simplesmente os coeficientes que multiplicam esses vetores na expressão acima. Então, temos:

Resposta

As coordenadas de na base formada por e são .

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