Sabendo que T: R^3 longrightarrow R^4 é uma transformação linear definida por T(x, y, z)=(x-y, y+z, 2 x-y+z, x+z).
T é injetora? T é sobrejetora? T é um isomorfismo? Justifique.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é descobrir se essa transformação é injetora, sobrejetora e se ela é um isomorfismo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares, injeção, sobrejeção e isomorfismos. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos ver se x - y = 0 y + z = 0 2x - y + z = 0 x + z = 0 é injetora. Uma transformação linear é injetora se o único vetor que mapeia para o vetor zero é o vetor zero mesmo. Em outras palavras, queremos saber se 2(-z) - (-z) + z = -2z + z + z = 0 implica que .
Vamos resolver o sistema de equações:
Resolvendo a primeira equação: .
Da segunda equação: .
Substituindo na quarta equação: .
Mas já sabemos que , então .
Agora, substituindo e na terceira equação:
Isso sempre é verdadeiro para qualquer . Porém, para que todas as equações sejam satisfeitas, precisamos que . Então, , o que implica e .
Como a única solução é , a transformação é injetora.

Passo 3

Agora, vamos verificar se T(x, y, z) = b é sobrejetora. Para isso, precisamos ver se todo vetor em x - y = b1 y + z = b2 2x - y + z = b3 x + z = b4 pode ser alcançado por . Ou seja, para qualquer em , existe um em tal que:
Isso nos leva ao sistema de equações:
Temos 4 equações e apenas 3 incógnitas, o que geralmente indica que não teremos solução para todos os possíveis. Além disso, pelo teorema da dimensão, a imagem de (que tem no máximo dimensão 3) não pode preencher todo , que tem dimensão 4. Portanto, não é sobrejetora.

Passo 4

Por fim, vamos determinar se é um isomorfismo. Um isomorfismo é uma transformação linear que é tanto injetora quanto sobrejetora. Já vimos que é injetora, mas não é sobrejetora. Portanto, não é um isomorfismo.

Resposta

é injetora, mas não é sobrejetora. Além disso, não é um isomorfismo.

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