Sabendo que T: R^3 longrightarrow R^4 é uma transformação linear definida por T(x, y, z)=(x-y, y+z, 2 x-y+z, x+z).
Determine uma base da Im(T).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é encontrar uma base para a imagem dessa transformação, ou seja, identificar um conjunto de vetores que “geram” todos os possíveis resultados que pode produzir.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem, ou , é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a todos os vetores de . Para encontrar uma base, precisamos identificar vetores que sejam linearmente independentes e que gerem toda a imagem.

Passo 3

Vamos representar A = 1 & -1 & 0 0 & 1 & 1 2 & -1 & 1 1 & 0 & 1 como uma matriz. Cada componente da transformação corresponde a uma coluna dessa matriz. Assim, podemos escrever:
Aqui, cada coluna de representa como atua sobre os vetores de .

Passo 4

Agora, para encontrar uma base para a imagem de 2 - 2(1) = 0 -1 - 2(-1) = 1 1 - 2(0) = 1 , precisamos descobrir quais colunas de 1 - 1(1) = 0 0 - 1(-1) = 1 1 - 1(0) = 1 são linearmente independentes. Vamos fazer isso usando a eliminação de Gauss para reduzir a matriz a uma forma escalonada.
Vamos aplicar operações nas linhas:
  1. Primeira linha: Já temos um 1 na posição (1,1), ótimo.
  2. Segunda linha: Subtraímos 0 vezes a primeira linha (já está bom).
  3. Terceira linha: Subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira: A = 1 & -1 & 0 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 Então, a terceira linha fica .
  4. Quarta linha: Subtraímos 1 vez a primeira linha da quarta: A quarta linha fica .
Depois dessas operações, a matriz fica:

Passo 5

Observamos que as linhas 2, 3 e 4 são iguais, indicando que há dependência linear. Portanto, a segunda coluna pode ser usada para gerar as demais. As colunas que têm pivôs (os primeiros elementos não nulos em cada linha) são as colunas 1 e 2.
Isso significa que as colunas 1 e 2 da matriz são linearmente independentes e geram a imagem de . Portanto, elas formam uma base para .

Resposta

Uma base para a imagem de 1 0 2 1 é formada pelos vetores -1 1 -1 0 e , 1 0 2 1, -1 1 -1 0 , .

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