(b) Encontre as matrizes triangulares L e U, de forma que os elementos da diagonal principal de U sejam iguais a 1 e L U=A. (Decomposição de Crout)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando a Decomposição de Crout. O objetivo aqui é encontrar duas matrizes triangulares, e , onde é uma matriz triangular inferior e é uma matriz triangular superior com 1s na diagonal principal, de forma que , onde é a matriz dos coeficientes do sistema. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre álgebra linear e decomposição de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar o sistema linear dado em forma de matriz. O sistema é:
Podemos escrever a matriz dos coeficientes A = 1 & 1 & -1 0 & 12 & -1 2 & 1 & 1 assim:
Passo 3
Agora, vamos decompor L = l11 & 0 & 0 l21 & l22 & 0 l31 & l32 & l33 , U = 1 & u12 & u13 0 & 1 & u23 0 & 0 & 1 em e usando o método de Crout. Na decomposição de Crout, é uma matriz triangular inferior com elementos diferentes de zero na diagonal principal, e é uma matriz triangular superior com 1s na diagonal principal.