Dado o sistema linear abaixo,
(b) Encontre as matrizes triangulares e , de forma que os elementos da diagonal principal de sejam iguais a 1 e . (Decomposição de Crout)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando a Decomposição de Crout. O objetivo aqui é encontrar duas matrizes triangulares, e , onde é uma matriz triangular inferior e é uma matriz triangular superior com 1s na diagonal principal, de forma que , onde é a matriz dos coeficientes do sistema. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre álgebra linear e decomposição de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema linear dado em forma de matriz. O sistema é:
Podemos escrever a matriz dos coeficientes assim:

Passo 3

Agora, vamos decompor em e usando o método de Crout. Na decomposição de Crout, é uma matriz triangular inferior com elementos diferentes de zero na diagonal principal, e é uma matriz triangular superior com 1s na diagonal principal.
Vamos assumir que:

Passo 4

Multiplicando e , temos:
Igualando com a matriz :

[


]

Passo 5

Vamos resolver as equações resultantes:
Calculando :

Passo 6

Agora, temos todos os elementos de e :

Resposta

As matrizes triangulares e são:

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Dado o sistema linear,
© Suponha que existe uma única solução para o sistema, encontre esta solução em função de .
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