Dado o sistema linear abaixo,
l x1+x2-x3=0 12 x2-x3=4 2 x1+x2+x3=5
(b) Encontre as matrizes triangulares L e U, de forma que os elementos da diagonal principal de U sejam iguais a 1 e L U=A. (Decomposição de Crout)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando a Decomposição de Crout. O objetivo aqui é encontrar duas matrizes triangulares, e , onde é uma matriz triangular inferior e é uma matriz triangular superior com 1s na diagonal principal, de forma que , onde é a matriz dos coeficientes do sistema. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre álgebra linear e decomposição de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema linear dado em forma de matriz. O sistema é:
l x1 + x2 - x3 = 0 12x2 - x3 = 4 2x1 + x2 + x3 = 5
Podemos escrever a matriz dos coeficientes A = 1 & 1 & -1 0 & 12 & -1 2 & 1 & 1 assim:

Passo 3

Agora, vamos decompor L = l11 & 0 & 0 l21 & l22 & 0 l31 & l32 & l33 , U = 1 & u12 & u13 0 & 1 & u23 0 & 0 & 1 em e usando o método de Crout. Na decomposição de Crout, é uma matriz triangular inferior com elementos diferentes de zero na diagonal principal, e é uma matriz triangular superior com 1s na diagonal principal.
Vamos assumir que:

Passo 4

Multiplicando L times U = l11 & l11u12 & l11u13 l21 & l21u12 + l22 & l21u13 + l22u23 l31 & l31u12 + l32 & l31u13 + l32u23 + l33 e 1 & 1 & -1 0 & 12 & -1 2 & 1 & 1 = l11 & l11u12 & l11u13 l21 & l21u12 + l22 & l21u13 + l22u23 l31 & l31u12 + l32 & l31u13 + l32u23 + l33 , temos:
Igualando com a matriz :

[


]

Passo 5

Vamos resolver as equações resultantes:
  1. -2 + 112 + l33 = 1 l33 = 1 + 2 - 112 = 3 - 112 = 3512
Calculando :

Passo 6

Agora, temos todos os elementos de L = 1 & 0 & 0 0 & 12 & 0 2 & -1 & 3512 , U = 1 & 1 & -1 0 & 1 & -112 0 & 0 & 1 e :

Resposta

As matrizes triangulares L = 1 & 0 & 0 0 & 12 & 0 2 & -1 & dfrac3512 , U = 1 & 1 & -1 0 & 1 & -dfrac112 0 & 0 & 1 e são:

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