Encontre as duas primeiras iterações do método de Jacobi para os seguintes sistemas lineares, utilizando x^0=[lll0 & 0 & 0]. Verifique a convergência.(b) l10 x1-x2=9 -x1+10 x2-2 x3=7 -2 x2+10 x3=6

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver um sistema de equações lineares usando o método de Jacobi. O sistema que temos é:
10x1 - x2 = 9 -x1 + 10x2 - 2x3 = 7 -2x2 + 10x3 = 6
Vamos fazer duas iterações começando com 0 & 0 & 0 . Para isso, vamos precisar separar cada equação para isolar cada variável e aplicar a fórmula de Jacobi.

Passo 2

O método de Jacobi é uma técnica iterativa para resolver sistemas lineares. A ideia é isolar cada variável em uma equação e, em cada iteração, calcular um novo valor para cada variável usando os valores da iteração anterior. As fórmulas para o nosso sistema ficam:
x1^(k+1) &= 9 + x2^(k)10 x2^(k+1) &= 7 + x1^(k) + 2x3^(k)10 x3^(k+1) &= 6 + 2x2^(k)10
Vamos usar essas fórmulas para calcular as próximas aproximações.

Passo 3

Primeira Iteração ( 0 & 0 & 0 ):
Usando x1^(1) &= 9 + 010 = 0.9 x2^(1) &= 7 + 0 + 2 times 010 = 0.7 x3^(1) &= 6 + 2 times 010 = 0.6 :
0.9 & 0.7 & 0.6
Então, .

Passo 4

Segunda Iteração ( 0.9 & 0.7 & 0.6 ):
Usando x1^(2) &= 9 + 0.710 = 9.710 = 0.97 x2^(2) &= 7 + 0.9 + 2 times 0.610 = 7 + 0.9 + 1.210 = 9.110 = 0.91 x3^(2) &= 6 + 2 times 0.710 = 6 + 1.410 = 7.410 = 0.74 :
0.97 & 0.91 & 0.74
Então, .

Resposta

As duas primeiras iterações do método de Jacobi são:
x^1 &= 0.9 & 0.7 & 0.6 x^2 &= 0.97 & 0.91 & 0.74
Além disso, como os valores estão se aproximando e mudando menos a cada iteração, o método está convergindo para a solução do sistema.

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