Dado o sistema linear,
l 2 x1-6 alpha x2=3 3 alpha x1-x2=32
© Suponha que existe uma única solução para o sistema, encontre esta solução em função de alpha.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que temos aqui. A gente vai precisar usar conceitos de álgebra linear, como métodos de substituição ou eliminação, e também verificar o determinante para garantir que existe uma única solução. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
l 2x1 - 6alpha x2 = 3 3alpha x1 - x2 = 32

Passo 3

Para encontrar uma única solução, precisamos garantir que o determinante da matriz dos coeficientes seja diferente de zero. A matriz dos coeficientes é:
A = 2 & -6alpha 3alpha & -1

Passo 4

Calculamos o determinante de det(A) = (2)(-1) - (-6alpha)(3alpha) = -2 + 18alpha^2 = 18alpha^2 - 2 :
18alpha^2 - 2 neq 0 18alpha^2 neq 2 alpha^2 neq 218 = 19 alpha neq pm 13
Para que haja uma única solução, precisamos que :
Então, desde que , temos uma única solução.

Passo 5

Agora vamos resolver o sistema usando o método da substituição. Da segunda equação:
3alpha x1 - x2 = 32 Rightarrow x2 = 3alpha x1 - 32

Passo 6

Substituímos 2x1 - 6alpha (3alpha x1 - 32) = 3 2x1 - 18alpha^2 x1 + 9alpha = 3 na primeira equação:

Passo 7

Agrupando os termos com (2 - 18alpha^2) x1 + 9alpha = 3 (2 - 18alpha^2) x1 = 3 - 9alpha x1 = 3 - 9alpha2 - 18alpha^2 :
x1 = 3(1 - 3alpha)2(1 - 9alpha^2) = 3(1 - 3alpha)2(1 - 3alpha)(1 + 3alpha)
Simplificando:
Cancelando x1 = 32(1 + 3alpha) :

Passo 8

Agora que temos x2 = 3alpha x1 - 32 x2 = 3alpha (32(1 + 3alpha)) - 32 x2 = 9alpha2(1 + 3alpha) - 32 , vamos encontrar x2 = 9alpha - 3(1 + 3alpha)2(1 + 3alpha) x2 = 9alpha - 3 - 9alpha2(1 + 3alpha) x2 = -32(1 + 3alpha) x2 = -32(1 + 3alpha) usando a expressão que encontramos anteriormente:
Colocando tudo com denominador comum:

Resposta

A solução única do sistema em função de x1 = 32(1 + 3alpha) x2 = -32(1 + 3alpha) é:

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