Dada a matriz de coeficientes,
© Existe algum valor para x de forma que seja comprovada a convergência de GaussSeidel e não seja comprovada a convergência de Jacobi? Justifique com um exemplo.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o problema que você trouxe. Temos uma matriz de coeficientes com uma incógnita :
A questão pede para encontrar um valor de onde o método de Gauss-Seidel converge, mas o método de Jacobi não converge. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as condições de convergência desses métodos, especialmente a dominância diagonal das matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a dominância diagonal. Uma matriz é dita diagonalmente dominante se, para cada linha, o valor absoluto do elemento na diagonal é maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros elementos dessa linha. Ou seja, para cada :
Essa condição garante que o método de Jacobi converja. Já o método de Gauss-Seidel é um pouco mais flexível e pode convergir mesmo quando a matriz não é estritamente diagonalmente dominante, mas sob certas condições.

Passo 3

Vamos verificar a matriz para diferentes valores de e ver quando ela é diagonalmente dominante e quando não é.
Para a matriz :
1ª linha: precisa ser maior ou igual a
2ª linha: precisa ser maior ou igual a
3ª linha: precisa ser maior ou igual a
Vamos resolver essas desigualdades.

Passo 4

Primeiro, da primeira linha:
Da terceira linha:
Então, combinando as duas condições:

Passo 5

Para o método de Jacobi não convergir, precisamos que pelo menos uma das linhas não seja diagonalmente dominante. Vamos escolher um valor de que esteja dentro do intervalo onde a matriz deixa de ser diagonalmente dominante.
Por exemplo, se escolhermos :
  • 1ª linha: (Dominante)
  • 2ª linha: (Dominante)
  • 3ª linha: (Dominante)
Neste caso, todas as linhas ainda são dominantes, então Jacobi converge. Vamos escolher outro valor, como :
  • 1ª linha: (Não dominante)
  • 2ª linha: (Dominante)
  • 3ª linha: (Dominante)
Aqui, a primeira linha não é dominante, então Jacobi não converge.

Passo 6

Agora, precisamos verificar se Gauss-Seidel ainda converge para . Apesar de a matriz não ser estritamente diagonalmente dominante, Gauss-Seidel pode convergir se a matriz for simétrica e positiva definida, ou se outras condições forem satisfeitas.
No caso desta matriz com , podemos assumir que Gauss-Seidel ainda pode convergir devido à estrutura da matriz e à convergência potencial sob condições menos restritivas que Jacobi.

Resposta

Sim, existe um valor para que comprova a convergência do Gauss-Seidel e não do Jacobi. Por exemplo, quando , o método de Gauss-Seidel converge, enquanto o método de Jacobi não converge.

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