Dado o sistema linear abaixo, utilize a aritmética flutuante com precisão de dois algarismos.
(b) Encontre a solução utilizando Gauss e pivotação com dimensionamento. Calcule o resíduo da solução encontrada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando a eliminação de Gauss com pivotação e dimensionamento. A matéria que estamos usando aqui é Álgebra Linear, mais especificamente o método de eliminação para resolver sistemas. Vamos precisar manipular as equações para chegar numa solução, sempre arredondando os números para dois algarismos, já que estamos usando aritmética flutuante com precisão de duas casas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de matriz aumentada:

Passo 3

Vamos iniciar a eliminação. Nosso objetivo é transformar a matriz em uma forma triangular, onde abaixo da diagonal principal (começando do canto superior esquerdo), todos os elementos sejam zero.

Passo 4

Primeiro, identificamos o pivo na primeira coluna. Aqui, o maior valor em módulo na primeira coluna é 2 (da terceira linha), então vamos trocar a primeira e a terceira linhas para melhorar a precisão numérica.

Passo 5

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do pivô (que é 2 na primeira coluna). Para isso, subtraímos da primeira linha da terceira linha.
Cálculo:
  • Linha 3 = Linha 3 - (0.5) * Linha 1

Passo 6

Em seguida, vamos para a segunda coluna e identificar o pivô. Já que só temos um número na segunda coluna na segunda linha, o pivô é 12. Não precisamos trocar linhas aqui.

Passo 7

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do pivô na segunda coluna. Para isso, subtraímos da segunda linha multiplicada pela terceira linha.
Cálculo:
  • Linha 3 = Linha 3 - (0.04) * Linha 2

Passo 8

Agora que a matriz está em forma triangular, podemos resolver as equações de baixo para cima. Primeiro, resolvemos a terceira equação:

Passo 9

Substituímos na segunda equação para encontrar :

Passo 10

Por fim, substituímos e na primeira equação para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é aproximadamente:
E o resíduo calculado com essa solução é próximo de zero, confirmando que a solução encontrada está correta.

Exercícios relacionados

Responda verdadeiro ou falso:(g) Métodos exatos para solução de sistemas lineares estão sujeitos a erro de truncamento.
Para os sistemas da questão anterior, encontre as duas primeiras iterações e o erro relativo, utilizando o método de Gauss-Seidel.(b)
Responda verdadeiro ou falso:(e) Em matrizes densas usam-se métodos exatos já que os iterativos não convergem.