Para os sistemas da questão anterior, encontre as duas primeiras iterações e o erro relativo, utilizando o método de Gauss-Seidel.(b) l10 x1-x2=9 -x1+10 x2-2 x3=7 -2 x2+10 x3=6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. O enunciado nos dá o seguinte sistema:
10x1 - x2 = 9 -x1 + 10x2 - 2x3 = 7 -2x2 + 10x3 = 6
Estamos no conteúdo de métodos iterativos para resolução de sistemas lineares, e vamos precisar entender como aplicar o método de Gauss-Seidel para encontrar aproximações das soluções. Vamos fazer duas iterações e calcular o erro relativo ao final.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar cada equação para isolar cada variável de forma que x1 = 9 + x210 x2 = 7 + x1 + 2x310 x3 = 6 + 2x210 , e fiquem em função das outras. Isso facilita a aplicação do método de Gauss-Seidel, que usa os valores mais recentes disponíveis para atualizar as variáveis.
Reescrevendo as equações:

Passo 3

Vamos escolher um chute inicial para as variáveis. Geralmente, usa-se x1^(1) = 9 + x2^(0)10 = 9 + 010 = 0,9 , x2^(1) = 7 + x1^(1) + 2x3^(0)10 = 7 + 0,9 + 010 = 7,910 = 0,79 , e x3^(1) = 6 + 2x2^(1)10 = 6 + 2(0,79)10 = 6 + 1,5810 = 7,5810 = 0,758 .
Agora, vamos realizar a primeira iteração ( ):
  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Calcular :

Passo 4

Agora, vamos fazer a segunda iteração ( x1^(2) = 9 + x2^(1)10 = 9 + 0,7910 = 9,7910 = 0,979 ) usando os valores mais recentes obtidos:
  1. Calcular x2^(2) = 7 + x1^(2) + 2x3^(1)10 = 7 + 0,979 + 2(0,758)10 = 7 + 0,979 + 1,51610 = 9,49510 = 0,9495 :
x3^(2) = 6 + 2x2^(2)10 = 6 + 2(0,9495)10 = 6 + 1,89910 = 7,89910 = 0,7899
  1. Calcular :
  1. Calcular :

Passo 5

Agora que temos as duas primeiras iterações, vamos calcular o erro relativo após a segunda iteração. O erro relativo para cada variável pode ser calculado pela fórmula:
Erro Relativo = | x^(k) - x^(k-1)x^(k) | times 100%
Vamos calcular para cada variável:
  1. Para Erro Relativo = | 0,979 - 0,90,979 | times 100% approx | 0,0790,979 | times 100% approx 8,08% :
Erro Relativo = | 0,9495 - 0,790,9495 | times 100% approx | 0,15950,9495 | times 100% approx 16,79%
  1. Para Erro Relativo = | 0,7899 - 0,7580,7899 | times 100% approx | 0,03190,7899 | times 100% approx 4,04% :
  1. Para :

Resposta

Após duas iterações pelo método de Gauss-Seidel, os valores aproximados das variáveis são:
x1 approx 0,979 x2 approx 0,9495 x3 approx 0,7899
O erro relativo após a segunda iteração é de aproximadamente:
Erro Relativo de x1 approx 8,08% Erro Relativo de x2 approx 16,79% Erro Relativo de x3 approx 4,04%

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