Para os sistemas da questão anterior, encontre as duas primeiras iterações e o erro relativo, utilizando o método de Gauss-Seidel.(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. O enunciado nos dá o seguinte sistema:
Estamos no conteúdo de métodos iterativos para resolução de sistemas lineares, e vamos precisar entender como aplicar o método de Gauss-Seidel para encontrar aproximações das soluções. Vamos fazer duas iterações e calcular o erro relativo ao final.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar cada equação para isolar cada variável de forma que , e fiquem em função das outras. Isso facilita a aplicação do método de Gauss-Seidel, que usa os valores mais recentes disponíveis para atualizar as variáveis.
Reescrevendo as equações:
Passo 3
Vamos escolher um chute inicial para as variáveis. Geralmente, usa-se , , e .
Agora, vamos realizar a primeira iteração ():
Calcular :
Calcular :
Calcular :
Passo 4
Agora, vamos fazer a segunda iteração () usando os valores mais recentes obtidos:
Calcular :
Calcular :
Calcular :
Passo 5
Agora que temos as duas primeiras iterações, vamos calcular o erro relativo após a segunda iteração. O erro relativo para cada variável pode ser calculado pela fórmula:
Vamos calcular para cada variável:
Para :
Para :
Para :
Resposta
Após duas iterações pelo método de Gauss-Seidel, os valores aproximados das variáveis são:
O erro relativo após a segunda iteração é de aproximadamente: