Para os sistemas da questão anterior, encontre as duas primeiras iterações e o erro relativo, utilizando o método de Gauss-Seidel.(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel. O enunciado nos dá o seguinte sistema:
Estamos no conteúdo de métodos iterativos para resolução de sistemas lineares, e vamos precisar entender como aplicar o método de Gauss-Seidel para encontrar aproximações das soluções. Vamos fazer duas iterações e calcular o erro relativo ao final.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar cada equação para isolar cada variável de forma que , e fiquem em função das outras. Isso facilita a aplicação do método de Gauss-Seidel, que usa os valores mais recentes disponíveis para atualizar as variáveis.
Reescrevendo as equações:

Passo 3

Vamos escolher um chute inicial para as variáveis. Geralmente, usa-se , , e .
Agora, vamos realizar a primeira iteração ( ):
  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Calcular :

Passo 4

Agora, vamos fazer a segunda iteração ( ) usando os valores mais recentes obtidos:
  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Calcular :

Passo 5

Agora que temos as duas primeiras iterações, vamos calcular o erro relativo após a segunda iteração. O erro relativo para cada variável pode ser calculado pela fórmula:
Vamos calcular para cada variável:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

Após duas iterações pelo método de Gauss-Seidel, os valores aproximados das variáveis são:
O erro relativo após a segunda iteração é de aproximadamente:

Exercícios relacionados

Dado o sistema linear abaixo, utilize a aritmética flutuante com precisão de dois algarismos.
(b) Encontre a solução utilizando Gauss e pivotação com dimensionamento. Calcule o resíduo da solução encontrada.
Responda verdadeiro ou falso:(e) Em matrizes densas usam-se métodos exatos já que os iterativos não convergem.
Dado o sistema linear,
© Suponha que existe uma única solução para o sistema, encontre esta solução em função de .