Use o método de eliminação de Gauss para resolver os seguintes sistemas lineares, se possível, e determine se são necessárias trocas de linhas.(b) $\left\{\begin{array}{l}2 x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}=6 \\ x_{2}-x_{3}+x_{4}=5 \\ x_{4}=5 \\ x_{3}-x_{4}=3\end{array}\right.$

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss. Esse método ajuda a simplificar o sistema para encontrar os valores das incógnitas. Para isso, vamos precisar manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez até conseguirmos as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais organizada: \[ \begin{cases} 2x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{4} = 6 \\ x_{2} - x_{3} + x_{4} = 5 \\ x_{4} = 5 \\ x_{3} - x_{4} = 3 \end{cases} \]

Passo 3

Como já temos uma equação que resolve diretamente \(x_{4}\), que é \(x_{4} = 5\), podemos usar esse valor para simplificar as outras equações.

Passo 4

Vamos substituir \(x_{4} = 5\) na quarta equação para encontrar \(x_{3}\): \[ x_{3} - 5 = 3 \\ \Rightarrow x_{3} = 3 + 5 = 8 \] Então, \(x_{3} = 8\).

Passo 5

Agora que temos \(x_{3}\) e \(x_{4}\), vamos substituir esses valores na segunda equação para encontrar \(x_{2}\): \[ x_{2} - 8 + 5 = 5 \\ \Rightarrow x_{2} - 3 = 5 \\ \Rightarrow x_{2} = 5 + 3 = 8 \] Portanto, \(x_{2} = 8\).

Passo 6

Por fim, substituímos \(x_{2}\), \(x_{3}\) e \(x_{4}\) na primeira equação para encontrar \(x_{1}\): \[ 2x_{1} - 8 + 8 - 5 = 6 \\ \Rightarrow 2x_{1} - 5 = 6 \\ \Rightarrow 2x_{1} = 6 + 5 = 11 \\ \Rightarrow x_{1} = \frac{11}{2} = 5,5 \] Então, \(x_{1} = 5,5\).

Resposta

A solução do sistema é: \[ x_{1} = 5,5; \quad x_{2} = 8; \quad x_{3} = 8; \quad x_{4} = 5 \]

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