Dado o sistema linear

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema. Temos um sistema de equações lineares com quatro variáveis , , e . Nosso objetivo é encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação, que ajuda a simplificar o sistema eliminando uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos observar as duas primeiras equações do sistema:
Para eliminar a variável , podemos subtrair a segunda equação da primeira:
Simplificando isso, temos:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:

Passo 3

Agora, vamos olhar para a terceira equação do sistema:
Vamos isolar :

Passo 4

Com a expressão para encontrada na equação (5), vamos substituí-la nas equações (1) e (2):
Substituindo na equação (1):
Simplificando:
Substituindo na equação (2):
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos um sistema com duas equações e três variáveis:
Vamos resolver esse sistema para encontrar relações entre as variáveis. Primeiro, multiplicamos a equação (4) por 3:
Subtraindo a equação (8) da equação (6):
Isso resulta em:
Agora, subtraindo a equação (4) da equação (7):
Simplificando:
Observamos que as equações (9) e (10) são iguais, indicando que há uma dependência entre elas.

Passo 6

Com a equação , podemos expressar em termos de :
Agora, substituímos da equação (11) na equação (4):
Simplificando:

Passo 7

Com e , vamos encontrar usando a equação (5):

Passo 8

Como não temos uma equação que determine o valor de , podemos escolher como uma variável livre, ou seja, podemos atribuir a um parâmetro qualquer, por exemplo, .

Resposta

A solução do sistema é:
onde é um número real qualquer.

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