Dado o sistema linear
r 3 x+5 y+12 z-w=-3 x+y+4 z-w=-6 2 y+2 z+w=5

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema. Temos um sistema de equações lineares com quatro variáveis , , e . Nosso objetivo é encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação, que ajuda a simplificar o sistema eliminando uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos observar as duas primeiras equações do sistema:
3x + 5y + 12z - w = -3 (1) x + y + 4z - w = -6 (2)
Para eliminar a variável (3x + 5y + 12z - w) - (x + y + 4z - w) = -3 - (-6) , podemos subtrair a segunda equação da primeira:
2x + 4y + 8z = 3 (4)
Simplificando isso, temos:
x + 2y + 4z = 1.5 (4)
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:

Passo 3

Agora, vamos olhar para a terceira equação do sistema:
2y + 2z + w = 5 (3)
Vamos isolar w = 5 - 2y - 2z (5) :

Passo 4

Com a expressão para 3x + 5y + 12z - (5 - 2y - 2z) = -3 encontrada na equação (5), vamos substituí-la nas equações (1) e (2):
Substituindo na equação (1):
3x + 7y + 14z = 2 (6)
Simplificando:
x + y + 4z - (5 - 2y - 2z) = -6
Substituindo na equação (2):
x + 3y + 6z = -1 (7)
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos um sistema com duas equações e três variáveis:
x + 2y + 4z = 1.5 (4) 3x + 7y + 14z = 2 (6) x + 3y + 6z = -1 (7)
Vamos resolver esse sistema para encontrar relações entre as variáveis. Primeiro, multiplicamos a equação (4) por 3:
3x + 6y + 12z = 4.5 (8)
Subtraindo a equação (8) da equação (6):
(3x + 7y + 14z) - (3x + 6y + 12z) = 2 - 4.5
Isso resulta em:
y + 2z = -2.5 (9)
Agora, subtraindo a equação (4) da equação (7):
(x + 3y + 6z) - (x + 2y + 4z) = -1 - 1.5
Simplificando:
y + 2z = -2.5 (10)
Observamos que as equações (9) e (10) são iguais, indicando que há uma dependência entre elas.

Passo 6

Com a equação y = -2.5 - 2z (11) , podemos expressar x + 2(-2.5 - 2z) + 4z = 1.5 em termos de x - 5 - 4z + 4z = 1.5 x - 5 = 1.5 x = 6.5 (12) :
Agora, substituímos da equação (11) na equação (4):
Simplificando:

Passo 7

Com w = 5 - 2(-2.5 - 2z) - 2z w = 5 + 5 + 4z - 2z w = 10 + 2z (13) e , vamos encontrar usando a equação (5):

Passo 8

Como não temos uma equação que determine o valor de z = t y = -2.5 - 2t w = 10 + 2t x = 6.5 , podemos escolher como uma variável livre, ou seja, podemos atribuir a um parâmetro qualquer, por exemplo, .

Resposta

A solução do sistema é:
x = 6.5, y = -2.5 - 2t, z = t, w = 10 + 2t
onde é um número real qualquer.

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