Seja T: IR^3 IR^2, T(x, y, z)=(2 x+2 y-z, 3 x-y+z) uma transformação linear. Sejam as bases A=(1,-1,0),(1,0,1),(0,0,-1) e B=(0,-1),(-1,1). Determinar [T]B^A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre transformações lineares, que é um conceito de álgebra linear. O problema nos dá uma transformação linear definida por . Além disso, temos duas bases: a base para e a base para . O que precisamos fazer é encontrar a matriz de em relação a essas bases, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar . Isso quer dizer que queremos escrever a transformação de forma matricial, usando as bases e como referências. Basicamente, cada coluna dessa matriz vai representar o resultado de aplicar em cada vetor da base , mas expressos na base .

Passo 3

Vamos começar aplicando T(1, -1, 0) = (2(1) + 2(-1) - 0, 3(1) - (-1) + 0) = (2 - 2, 3 + 1) = (0, 4) em cada vetor da base T(1, 0, 1) = (2(1) + 2(0) - 1, 3(1) - 0 + 1) = (2 - 1, 3 + 1) = (1, 4) . A base T(0, 0, -1) = (2(0) + 2(0) - (-1), 3(0) - 0 + (-1)) = (0 + 1, 0 - 1) = (1, -1) tem três vetores: , e . Vamos calcular , e .
Para :
Para :
Para :

Passo 4

Agora temos os resultados da aplicação de T(a1) = (0, 4), T(a2) = (1, 4), T(a3) = (1, -1) nos vetores da base T(ai) = c1 b1 + c2 b2 :
O próximo passo é expressar cada um desses vetores na base . Para isso, precisamos encontrar coeficientes que combinados com os vetores de resultem nos vetores .
A base é . Queremos achar scalars e tais que:

Passo 5

Vamos resolver isso para cada (0, 4) = c1 (0, -1) + c2 (-1, 1) .
Para 0 = 0 cdot c1 - 1 cdot c2 4 = -1 cdot c1 + 1 cdot c2 :
4 = -c1 + 0 Rightarrow c1 = -4
Isso dá o sistema:
-4 0
Da primeira equação, (1, 4) = c1 (0, -1) + c2 (-1, 1) . Substituindo na segunda:
1 = 0 cdot c1 - 1 cdot c2 4 = -1 cdot c1 + 1 cdot c2
Então, 4 = -c1 + (-1) Rightarrow -c1 = 5 Rightarrow c1 = -5 .
Para -5 -1 :
(1, -1) = c1 (0, -1) + c2 (-1, 1)
Sistema:
1 = 0 cdot c1 - 1 cdot c2 -1 = -1 cdot c1 + 1 cdot c2
Da primeira equação, -1 = -c1 + (-1) Rightarrow -1 = -c1 - 1 Rightarrow -c1 = 0 Rightarrow c1 = 0 . Substituindo na segunda:
0 -1
Então, .
Para :
Sistema:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Então, .

Passo 6

Agora que temos as coordenadas de cada [T]B^A = -4 & -5 & 0 0 & -1 & -1 na base , podemos montar a matriz . Cada coluna dessa matriz corresponde a .
Então, a matriz fica assim:

Resposta

A matriz da transformação [T]B^A = -4 & -5 & 0 0 & -1 & -1 em relação às bases e é

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