Seja uma transformação linear. Sejam as bases e . Determinar .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre transformações lineares, que é um conceito de álgebra linear. O problema nos dá uma transformação linear definida por . Além disso, temos duas bases: a base para e a base para . O que precisamos fazer é encontrar a matriz de em relação a essas bases, ou seja, .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar . Isso quer dizer que queremos escrever a transformação de forma matricial, usando as bases e como referências. Basicamente, cada coluna dessa matriz vai representar o resultado de aplicar em cada vetor da base , mas expressos na base .
Passo 3
Vamos começar aplicando em cada vetor da base . A base tem três vetores: , e . Vamos calcular , e .
Para :
Para :
Para :
Passo 4
Agora temos os resultados da aplicação de nos vetores da base :
O próximo passo é expressar cada um desses vetores na base . Para isso, precisamos encontrar coeficientes que combinados com os vetores de resultem nos vetores .
A base é . Queremos achar scalars e tais que:
Passo 5
Vamos resolver isso para cada .
Para :
Isso dá o sistema:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Então, .
Para :
Sistema:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Então, .
Para :
Sistema:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Então, .
Passo 6
Agora que temos as coordenadas de cada na base , podemos montar a matriz . Cada coluna dessa matriz corresponde a .