Seja
uma transformação linear. Sejam as bases
e
. Determinar
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre transformações lineares, que é um conceito de álgebra linear. O problema nos dá uma transformação linear
definida por
. Além disso, temos duas bases: a base
para
e a base
para
. O que precisamos fazer é encontrar a matriz de
em relação a essas bases, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar
. Isso quer dizer que queremos escrever a transformação
de forma matricial, usando as bases
e
como referências. Basicamente, cada coluna dessa matriz vai representar o resultado de aplicar
em cada vetor da base
, mas expressos na base
.
Passo 3
Vamos começar aplicando
em cada vetor da base
. A base
tem três vetores:
,
e
. Vamos calcular
,
e
.
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora temos os resultados da aplicação de
nos vetores da base
:
O próximo passo é expressar cada um desses vetores na base
. Para isso, precisamos encontrar coeficientes que combinados com os vetores de
resultem nos vetores
.
A base
é
. Queremos achar scalars
e
tais que:
Passo 5
Vamos resolver isso para cada
.
Para
:
Isso dá o sistema:
Da primeira equação,
. Substituindo na segunda:
Então,
.
Para
:
Sistema:
Da primeira equação,
. Substituindo na segunda:
Então,
.
Para
:
Sistema:
Da primeira equação,
. Substituindo na segunda:
Então,
.
Passo 6
Agora que temos as coordenadas de cada
na base
, podemos montar a matriz
. Cada coluna dessa matriz corresponde a
.
Então, a matriz fica assim:
Resposta
A matriz da transformação
em relação às bases
e
é