Seja T o operador linear dado pela matriz:
[ccc 1 & 1 & 2 0 & -1 & 2 1 & 1 & 1 ]
Calcular N(T), Im(T) e dim N(T).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um operador linear representado por uma matriz. Precisamos encontrar o Núcleo de ( ), a Imagem de ( ) e a dimensão do Núcleo ( ). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como espaços vetoriais, sistemas de equações lineares e a teoria de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o Núcleo de 1x1 + 1x2 + 2x3 = 0 0x1 -1x2 + 2x3 = 0 1x1 + 1x2 + 1x3 = 0 , que é o conjunto de todos os vetores tais que . Isso significa resolver o sistema de equações lineares dado por:

Passo 3

Vamos montar a matriz aumentada e usar a eliminação de Gauss para simplificar:
[ccc|c 1 & 1 & 2 & 0 0 & -1 & 2 & 0 1 & 1 & 1 & 0 ]
Subtraindo a primeira linha da terceira:
[ccc|c 1 & 1 & 2 & 0 0 & -1 & 2 & 0 0 & 0 & -1 & 0 ]

Passo 4

Agora, resolveremos o sistema:
Da terceira equação:
Da segunda equação:
Da primeira equação:

Passo 5

Então, o único vetor no Núcleo de N(T) = 0 é o vetor nulo. Ou seja:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a Imagem de c1 = 1 0 1 , c2 = 1 -1 1 , c3 = 2 2 1 , que é o espaço gerado pelas colunas da matriz de . As colunas são:
Vamos verificar se essas colunas são linearmente independentes.

Passo 7

Colocando as colunas em uma matriz e reduzindo:
[ccc 1 & 1 & 2 0 & -1 & 2 1 & 1 & 1 ]
Subtraindo a primeira linha da terceira:
[ccc 1 & 1 & 2 0 & -1 & 2 0 & 0 & -1 ]
Como não há linhas de zeros, as colunas são linearmente independentes.

Passo 8

Portanto, a Imagem de Im(T) = R^3 é o espaço gerado por essas três colunas, que é todo o espaço :

Passo 9

Finalmente, a dimensão do Núcleo ( ) é o número de vetores na base do Núcleo. Como o Núcleo só contém o vetor nulo, a dimensão é 0.

Resposta

N(T) = 0 , Im(T) = R^3, dim N(T) = 0

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