Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um operador linear representado por uma matriz. Precisamos encontrar o Núcleo de (), a Imagem de () e a dimensão do Núcleo (). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como espaços vetoriais, sistemas de equações lineares e a teoria de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o Núcleo de 1x1 + 1x2 + 2x3 = 0 0x1 -1x2 + 2x3 = 0 1x1 + 1x2 + 1x3 = 0 , que é o conjunto de todos os vetores tais que . Isso significa resolver o sistema de equações lineares dado por:
Passo 3
Vamos montar a matriz aumentada e usar a eliminação de Gauss para simplificar: