Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um operador linear representado por uma matriz. Precisamos encontrar o Núcleo de (), a Imagem de () e a dimensão do Núcleo (). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como espaços vetoriais, sistemas de equações lineares e a teoria de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o Núcleo de , que é o conjunto de todos os vetores tais que . Isso significa resolver o sistema de equações lineares dado por:
Passo 3
Vamos montar a matriz aumentada e usar a eliminação de Gauss para simplificar:
Subtraindo a primeira linha da terceira:
Passo 4
Agora, resolveremos o sistema:
Da terceira equação:
Da segunda equação:
Da primeira equação:
Passo 5
Então, o único vetor no Núcleo de é o vetor nulo. Ou seja:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a Imagem de , que é o espaço gerado pelas colunas da matriz de . As colunas são:
Vamos verificar se essas colunas são linearmente independentes.
Passo 7
Colocando as colunas em uma matriz e reduzindo:
Subtraindo a primeira linha da terceira:
Como não há linhas de zeros, as colunas são linearmente independentes.
Passo 8
Portanto, a Imagem de é o espaço gerado por essas três colunas, que é todo o espaço :
Passo 9
Finalmente, a dimensão do Núcleo () é o número de vetores na base do Núcleo. Como o Núcleo só contém o vetor nulo, a dimensão é 0.