Dado o sistema linear S:r 2 x+3 y-z=0 x-4 y+5 z=0 É verdade que x=x1+x2, y=y1+y2 e z=z1+z2 é uma solução de S ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um sistema linear 2x + 3y - z = 0 x - 4y + 5z = 0 com duas equações:
A pergunta é se, ao somarmos duas soluções e , ou seja, definindo , e , obtemos também uma solução do sistema . Vamos usar conceitos de sistemas lineares e propriedades das soluções para responder.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um sistema linear homogêneo (como o sistema , onde todas as constantes estão igualadas a zero) tem a propriedade de que a soma de duas soluções também é uma solução. Isso acontece porque as equações são lineares, permitindo a adição das soluções individualmente.

Passo 3

Vamos verificar isso substituindo 2(x1 + x2) + 3(y1 + y2) - (z1 + z2) = 0 , 2x1 + 2x2 + 3y1 + 3y2 - z1 - z2 = 0 e (2x1 + 3y1 - z1) + (2x2 + 3y2 - z2) = 0 nas equações do sistema 2x1 + 3y1 - z1 = 0 e 2x2 + 3y2 - z2 = 0 :
Para a primeira equação:
Distribuindo os termos:
Podemos reescrever isso como:
Como e são soluções de , sabemos que:
Portanto, a soma das duas é zero.

Passo 4

Fazemos o mesmo para a segunda equação:
(x1 + x2) - 4(y1 + y2) + 5(z1 + z2) = 0
Distribuindo:
x1 + x2 - 4y1 - 4y2 + 5z1 + 5z2 = 0
Reescrevendo:
(x1 - 4y1 + 5z1) + (x2 - 4y2 + 5z2) = 0
Como x1 - 4y1 + 5z1 = 0 e x2 - 4y2 + 5z2 = 0 e são soluções de :
Assim, novamente a soma é zero.

Resposta

Sim, a soma de duas soluções de também é uma solução do sistema.

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