Dado o sistema linear É verdade que e é uma solução de ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um sistema linear com duas equações:
A pergunta é se, ao somarmos duas soluções e , ou seja, definindo , e , obtemos também uma solução do sistema . Vamos usar conceitos de sistemas lineares e propriedades das soluções para responder.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um sistema linear homogêneo (como o sistema , onde todas as constantes estão igualadas a zero) tem a propriedade de que a soma de duas soluções também é uma solução. Isso acontece porque as equações são lineares, permitindo a adição das soluções individualmente.

Passo 3

Vamos verificar isso substituindo , e nas equações do sistema :
Para a primeira equação:
Distribuindo os termos:
Podemos reescrever isso como:
Como e são soluções de , sabemos que:
Portanto, a soma das duas é zero.

Passo 4

Fazemos o mesmo para a segunda equação:
Distribuindo:
Reescrevendo:
Como e são soluções de :
Assim, novamente a soma é zero.

Resposta

Sim, a soma de duas soluções de também é uma solução do sistema.

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