Verificar se o seguinte conjunto é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Então, a gente tem um conjunto de matrizes 2x2 chamadas
, onde cada matriz é do tipo:
Aqui,
e
são números reais. A gente quer saber se esse conjunto
é um subespaço vetorial de
(que é o conjunto de todas as matrizes 2x2). Para resolver isso, precisamos lembrar três coisas importantes sobre subespaços vetoriais:
- O conjunto precisa conter a matriz zero.
- Precisa ser fechado sob adição (se você somar duas matrizes do conjunto, o resultado ainda está no conjunto).
- Precisa ser fechado sob multiplicação por escalar (se você multiplicar uma matriz do conjunto por um número real, o resultado ainda está no conjunto).
Passo 2
Primeiro, vamos ver se
contém a matriz zero. A matriz zero em
é:
No nosso conjunto
, uma matriz tem a forma:
Para ser a matriz zero,
e
precisariam ser zero e os termos fixos teriam que ser zero também. Mas olha só, na nossa matriz, os elementos fora de
e
são sempre 1. Isso significa que não tem como a matriz
ter todos os elementos iguais a zero. Portanto,
não contém a matriz zero.
Passo 3
Como já vimos que
não contém a matriz zero, já podemos concluir que
não é um subespaço vetorial. Não precisa nem verificar as outras condições, porque todas elas precisam ser atendidas para ser um subespaço, e já faltou a primeira.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial de
porque não contém a matriz zero.