Verificar se o seguinte conjunto é um subespaço vetorial de .

Passo 1

Então, a gente tem um conjunto de matrizes 2x2 chamadas , onde cada matriz é do tipo:
Aqui, e são números reais. A gente quer saber se esse conjunto é um subespaço vetorial de (que é o conjunto de todas as matrizes 2x2). Para resolver isso, precisamos lembrar três coisas importantes sobre subespaços vetoriais:
  1. O conjunto precisa conter a matriz zero.
  2. Precisa ser fechado sob adição (se você somar duas matrizes do conjunto, o resultado ainda está no conjunto).
  3. Precisa ser fechado sob multiplicação por escalar (se você multiplicar uma matriz do conjunto por um número real, o resultado ainda está no conjunto).

Passo 2

Primeiro, vamos ver se contém a matriz zero. A matriz zero em é:
No nosso conjunto , uma matriz tem a forma:
Para ser a matriz zero, e precisariam ser zero e os termos fixos teriam que ser zero também. Mas olha só, na nossa matriz, os elementos fora de e são sempre 1. Isso significa que não tem como a matriz ter todos os elementos iguais a zero. Portanto, não contém a matriz zero.

Passo 3

Como já vimos que não contém a matriz zero, já podemos concluir que não é um subespaço vetorial. Não precisa nem verificar as outras condições, porque todas elas precisam ser atendidas para ser um subespaço, e já faltou a primeira.

Resposta

O conjunto não é um subespaço vetorial de porque não contém a matriz zero.

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