Verifique se cada vetor u in V é unitário na norma indicada. Caso negativo, normalize u :
u=f:[0,1] R dado por f(t)=t e^t, na norma
|h|=raizintegral0^1 h(t)^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor |h| = raizintegral0^1 h(t)^2 dt que é uma função definida por no intervalo de . Queremos verificar se esse vetor é unitário na norma dada, que é a norma , expressa por:
Se o vetor não for unitário, vamos normalizá-lo, ou seja, ajustar seu tamanho para que sua norma seja 1.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a norma do vetor |u| = raizintegral0^1 (t e^t)^2 dt = raizintegral0^1 t^2 e^2t dt . Substituímos por na fórmula da norma:
Agora precisamos resolver essa integral.

Passo 3

Para resolver a integral integral u , dv = u v - integral v , du , vamos usar o método de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
du = 2t dt e v = 12 e^2t
Escolhemos integral t^2 e^2t dt = t^2 cdot 12 e^2t - integral 12 e^2t cdot 2t dt = t^2 e^2t2 - integral t e^2t dt e du = dt e v = 12 e^2t , então:
integral t e^2t dt = t cdot 12 e^2t - integral 12 e^2t dt = t e^2t2 - 14 e^2t + C
Aplicando a fórmula:
integral t^2 e^2t dt = t^2 e^2t2 - ( t e^2t2 - 14 e^2t ) + C = t^2 e^2t2 - t e^2t2 + 14 e^2t + C
Agora, precisamos integrar , que também fazemos por partes.
Escolhemos e :
Aplicando novamente:
Voltando à integral original:

Passo 4

Agora, avaliamos a integral definida de 0 a 1:
integral0^1 t^2 e^2t dt = [ t^2 e^2t2 - t e^2t2 + 14 e^2t ]0^1
Substituindo 1^2 e^22 - 1 e^22 + 14 e^2 = e^22 - e^22 + e^24 = e^24 :
0^2 e^02 - 0 e^02 + 14 e^0 = 0 - 0 + 14 = 14
Substituindo integral0^1 t^2 e^2t dt = e^24 - 14 = e^2 - 14 :
|u| = raiz e^2 - 14 = raize^2 - 12
Então:
raize^2 - 12 neq 1
Agora, a norma de é:
Sabemos que , então . Verificamos se :
Portanto, não é unitário.

Passo 5

Como unormalizado = u|u| = t e^t raize^2 - 12 = 2 t e^t raize^2 - 1 não é unitário, vamos normalizá-lo. Para isso, dividimos pela sua norma:

Resposta

O vetor unormalizado(t) = 2 t e^t raize^2 - 1 , para t in [0,1] normalizado é:

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