Determine a equação e faça um esboço da parábola Com foco F=(5,0) e eixo na reta r: y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente determinar a equação e fazer um esboço da parábola que tem o foco em F=(5,0) e cujo eixo está na reta r: y=0. Aqui, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas. Para isso, vamos precisar entender a definição de parábola, como identificar o vértice, o foco, e utilizar a forma padrão da equação da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão à mesma distância do foco e da diretriz. O eixo da parábola é a linha que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz. No nosso caso, o eixo está na reta y=0, que é o eixo x, então a parábola abre para a direita ou para a esquerda.

Passo 3

Como o foco da parábola é F=(5,0) e o eixo está na reta y=0, podemos concluir que a parábola abre para a direita. Isso porque o foco está à direita do vértice. Agora, vamos identificar o vértice da parábola. O vértice está exatamente a uma distância p do foco, onde p é a distância focal.

Passo 4

Vamos chamar o vértice de V=(h,k). Sabemos que o eixo est�� na reta y=0, então k=0. Além disso, o foco está em F=(5,0), e como a parábola abre para a direita, o vértice está à esquerda do foco. Então, temos h + p = 5, onde p é a distância do vértice ao foco.

Passo 5

A forma padrão da equação de uma parábola que abre para a direita é:
(y - k)^2 = 4p(x - h)
Como k=0, a equação simplifica para:
y^2 = 4p(x - h)
Agora, precisamos encontrar os valores de h e p.

Passo 6

Sabemos que h + p = 5. Além disso, a parábola passa pelo vértice (h,0). Como não temos mais informações, vamos escolher um valor para p que simplifique a equação. Vamos supor que p=1. Então, h = 5 - p = 4.

Passo 7

Substituindo h=4 e p=1 na equação da parábola, temos:
y^2 = 4 times 1 times (x - 4)
Simplificando, a equação fica:
y^2 = 4(x - 4)

Passo 8

Agora, vamos fazer o esboço da parábola. Sabemos que o vértice está em (4,0) e o foco em (5,0). A parábola abre para a direita. Podemos desenhar a diretriz, que está à mesma distância do vértice mas no lado oposto ao foco, ou seja, a diretriz é a reta x = 3.

Resposta

A equação da parábola é y^2 = 4(x - 4) e o esboço apresenta uma parábola que abre para a direita com vértice em (4,0) e foco em (5,0).

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