Determine a equação e faça um esboço da parábola
foco
e eixo na reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente determinar a equação e fazer um esboço da parábola que tem o foco em
e cujo eixo está na reta
. Aqui, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas. Para isso, vamos precisar entender a definição de parábola, como identificar o vértice, o foco, e utilizar a forma padrão da equação da parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão à mesma distância do foco e da diretriz. O eixo da parábola é a linha que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz. No nosso caso, o eixo está na reta
, que é o eixo x, então a parábola abre para a direita ou para a esquerda.
Passo 3
Como o foco da parábola é
e o eixo está na reta
, podemos concluir que a parábola abre para a direita. Isso porque o foco está à direita do vértice. Agora, vamos identificar o vértice da parábola. O vértice está exatamente a uma distância
do foco, onde
é a distância focal.
Passo 4
Vamos chamar o vértice de
. Sabemos que o eixo est�� na reta
, então
. Além disso, o foco está em
, e como a parábola abre para a direita, o vértice está à esquerda do foco. Então, temos
, onde
é a distância do vértice ao foco.
Passo 5
A forma padrão da equação de uma parábola que abre para a direita é:
Como
Agora, precisamos encontrar os valores de
e
.
Passo 6
Sabemos que
. Além disso, a parábola passa pelo vértice
. Como não temos mais informações, vamos escolher um valor para
que simplifique a equação. Vamos supor que
. Então,
.
Passo 7
Substituindo
e
na equação da parábola, temos:
Simplificando, a equação fica:
Passo 8
Agora, vamos fazer o esboço da parábola. Sabemos que o vértice está em
e o foco em
. A parábola abre para a direita. Podemos desenhar a diretriz, que está à mesma distância do vértice mas no lado oposto ao foco, ou seja, a diretriz é a reta
.
Resposta
A equação da parábola é
e o esboço apresenta uma parábola que abre para a direita com vértice em
e foco em
.
Exercícios relacionados
Verificar se o seguinte conjunto é um subespaço vetorial de
.
Dado o sistema linear
É verdade que
e
é uma solução de
?
Determine a translação dos eixos coordenados (nova origem e equações de transformação) que reduzem à forma canônica a equação do circulo:
Determine a translação dos eixos coordenados (nova origem e equações de transformação) que reduzem à forma canônica a equação do circulo: