Determine a equação e faça um esboço da parábola foco e eixo na reta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente determinar a equação e fazer um esboço da parábola que tem o foco em e cujo eixo está na reta . Aqui, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas. Para isso, vamos precisar entender a definição de parábola, como identificar o vértice, o foco, e utilizar a forma padrão da equação da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão à mesma distância do foco e da diretriz. O eixo da parábola é a linha que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz. No nosso caso, o eixo está na reta , que é o eixo x, então a parábola abre para a direita ou para a esquerda.

Passo 3

Como o foco da parábola é e o eixo está na reta , podemos concluir que a parábola abre para a direita. Isso porque o foco está à direita do vértice. Agora, vamos identificar o vértice da parábola. O vértice está exatamente a uma distância do foco, onde é a distância focal.

Passo 4

Vamos chamar o vértice de . Sabemos que o eixo est�� na reta , então . Além disso, o foco está em , e como a parábola abre para a direita, o vértice está à esquerda do foco. Então, temos , onde é a distância do vértice ao foco.

Passo 5

A forma padrão da equação de uma parábola que abre para a direita é:

Como , a equação simplifica para:
Agora, precisamos encontrar os valores de e .

Passo 6

Sabemos que . Além disso, a parábola passa pelo vértice . Como não temos mais informações, vamos escolher um valor para que simplifique a equação. Vamos supor que . Então, .

Passo 7

Substituindo e na equação da parábola, temos:

Simplificando, a equação fica:

Passo 8

Agora, vamos fazer o esboço da parábola. Sabemos que o vértice está em e o foco em . A parábola abre para a direita. Podemos desenhar a diretriz, que está à mesma distância do vértice mas no lado oposto ao foco, ou seja, a diretriz é a reta .

Resposta

A equação da parábola é e o esboço apresenta uma parábola que abre para a direita com vértice em e foco em .

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