Dado o sistema com realimentação unitária com,
G(s)=84s(s^7+5 s^6+12 s^5+25 s^4+45 s^3+50 s^2+82 s+60)
diga quantos polos da função de transferência em malha fechada estão no semiplano da direita, no semiplano da esquerda e sobre o eixo j omega.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir quantos polos da função de transferência em malha fechada estão no semiplano direito, esquerdo e sobre o eixo . Para isso, vamos usar o Critério de Routh-Hurwitz, que ajuda a determinar a estabilidade de um sistema sem precisar calcular os polos diretamente. Vamos precisar montar a equação característica do sistema e construir a tabela de Routh para analisar os sinais dos primeiros elementos de cada linha.

Passo 2

Primeiro, precisamos montar a equação característica do sistema em malha fechada. Como é um sistema com realimentação unitária, a equação característica é dada por:
1 + G(s) = 0
Substituindo 1 + 84s(s^7 + 5 s^6 + 12 s^5 + 25 s^4 + 45 s^3 + 50 s^2 + 82 s + 60) = 0 :
s(s^7 + 5 s^6 + 12 s^5 + 25 s^4 + 45 s^3 + 50 s^2 + 82 s + 60) + 84 = 0
Multiplicando ambos os lados por s^8 + 5 s^7 + 12 s^6 + 25 s^5 + 45 s^4 + 50 s^3 + 82 s^2 + 60 s + 84 = 0 para eliminar o denominador:
Simplificando:
Essa é a nossa equação característica.

Passo 3

Agora, vamos construir a Tabela de Routh para essa equação. A Tabela de Routh é uma matriz que organizamos com os coeficientes do polinômio para determinar o número de raízes na metade direita do plano complexo. As linhas alternam começando com c|ccccc s^8 & 1 & 12 & 45 & 82 & 84 s^7 & 5 & 25 & 50 & 60 & 0 s^6 & (5 cdot 12 - 1 cdot 25)5 = 60 - 255 = 7 & (5 cdot 45 - 1 cdot 50)5 = 225 - 505 = 35 & (5 cdot 82 - 1 cdot 60)5 = 410 - 605 = 70 & & s^5 & 7 & 35 & 70 & & s^4 & (7 cdot 35 - 7 cdot 35)7 = 0 & (7 cdot 70 - 7 cdot 70)7 = 0 & & & , depois p'(s) = 21 s^2 + 70 s + 70 , e assim por diante até c|ccccc s^8 & 1 & 12 & 45 & 82 & 84 s^7 & 5 & 25 & 50 & 60 & 0 s^6 & 7 & 35 & 70 & & s^5 & 7 & 35 & 70 & & s^4 & 21 & 70 & & & s^3 & (21 cdot 35 - 7 cdot 70)21 = 735 - 49021 = 12.14 & (21 cdot 70 - 7 cdot 0)21 = 1470 - 021 = 70 & & & s^2 & 12.14 & 70 & & & s^1 & (12.14 cdot 70 - 70 cdot 0)12.14 = 70 & & & & s^0 & 84 & & & & .
Organizando os coeficientes:
Quando encontramos uma linha inteira zero, precisamos usar o polinômio auxiliar. Neste caso, para , olhamos para o polinômio formado pelos coeficientes da linha acima, que é . Calculando sua derivada:
Agora, usamos os coeficientes de para completar a tabela:

Passo 4

Agora, analisamos os sinais da primeira coluna da Tabela de Routh. Cada mudança de sinal indica um polo no semiplano direito. Observando a primeira coluna:
1, 5, 7, 7, 21, 12.14, 70, 70, 84
Todos os elementos são positivos, sem nenhuma mudança de sinal. Isso significa que não há polos no semiplano direito.

Passo 5

Como não houve mudanças de sinal na primeira coluna, todos os polos estão no semiplano esquerdo ou sobre o eixo . Para verificar se há polos no eixo , observamos que não houve linhas com zeros ou leituras que indicassem múltiplas raízes reais positivas. Portanto, todos os polos estão no semiplano esquerdo.

Resposta

Todos os 8 polos da função de transferência em malha fechada estão no semiplano da esquerda, nenhum no semiplano da direita e nenhum sobre o eixo .

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