Dado o sistema com realimentação unitária com,
diga quantos polos da função de transferência em malha fechada estão no semiplano da direita, no semiplano da esquerda e sobre o eixo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir quantos polos da função de transferência em malha fechada estão no semiplano direito, esquerdo e sobre o eixo . Para isso, vamos usar o Critério de Routh-Hurwitz, que ajuda a determinar a estabilidade de um sistema sem precisar calcular os polos diretamente. Vamos precisar montar a equação característica do sistema e construir a tabela de Routh para analisar os sinais dos primeiros elementos de cada linha.

Passo 2

Primeiro, precisamos montar a equação característica do sistema em malha fechada. Como é um sistema com realimentação unitária, a equação característica é dada por:
Substituindo :
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Simplificando:
Essa é a nossa equação característica.

Passo 3

Agora, vamos construir a Tabela de Routh para essa equação. A Tabela de Routh é uma matriz que organizamos com os coeficientes do polinômio para determinar o número de raízes na metade direita do plano complexo. As linhas alternam começando com , depois , e assim por diante até .
Organizando os coeficientes:
Quando encontramos uma linha inteira zero, precisamos usar o polinômio auxiliar. Neste caso, para , olhamos para o polinômio formado pelos coeficientes da linha acima, que é . Calculando sua derivada:
Agora, usamos os coeficientes de para completar a tabela:

Passo 4

Agora, analisamos os sinais da primeira coluna da Tabela de Routh. Cada mudança de sinal indica um polo no semiplano direito. Observando a primeira coluna:
Todos os elementos são positivos, sem nenhuma mudança de sinal. Isso significa que não há polos no semiplano direito.

Passo 5

Como não houve mudanças de sinal na primeira coluna, todos os polos estão no semiplano esquerdo ou sobre o eixo . Para verificar se há polos no eixo , observamos que não houve linhas com zeros ou leituras que indicassem múltiplas raízes reais positivas. Portanto, todos os polos estão no semiplano esquerdo.

Resposta

Todos os 8 polos da função de transferência em malha fechada estão no semiplano da esquerda, nenhum no semiplano da direita e nenhum sobre o eixo .

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