Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a transformada inversa de Laplace unilateral da função
. Isso faz parte da matéria de Transformadas de Laplace, onde a gente transforma funções do domínio de tempo para o domínio de frequência e vice-versa. Para resolver isso, a gente vai precisar fatorar o denominador, decompor em frações parciais e então aplicar as tabelas de transformadas inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função. O denominador
pode ser fatorado. Vamos procurar dois números que multiplicados dão -6 e somados dão -1. Esses números são -3 e 2. Então:
Agora, nossa função fica:
Passo 3
Vamos expandir o numerador
:
Então, a função fica:
Passo 4
Agora, fazemos a divisão polinomial para simplificar a fração. Dividindo
por
:
Então, nossa função se divide em:
Passo 5
Agora, vamos decompôr a fração
em frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Vamos resolver para
e
. Escolhemos valores de
que simplificam a equação.
Primeiro, deixe
:
Agora, deixe
:
Passo 7
Com os valores de
e
, nossa expressão fica:
Simplificando:
Passo 8
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo. Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:
Passo 9
Finalmente, juntamos todos os termos:
Resposta
A transformada inversa de Laplace unilateral da função dada é: