Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
(s+1)^2s^2-s-6

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a transformada inversa de Laplace unilateral da função . Isso faz parte da matéria de Transformadas de Laplace, onde a gente transforma funções do domínio de tempo para o domínio de frequência e vice-versa. Para resolver isso, a gente vai precisar fatorar o denominador, decompor em frações parciais e então aplicar as tabelas de transformadas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função. O denominador s^2 - s - 6 = (s - 3)(s + 2) pode ser fatorado. Vamos procurar dois números que multiplicados dão -6 e somados dão -1. Esses números são -3 e 2. Então:
(s+1)^2(s - 3)(s + 2)
Agora, nossa função fica:

Passo 3

Vamos expandir o numerador (s + 1)^2 = s^2 + 2s + 1 :
s^2 + 2s + 1(s - 3)(s + 2)
Então, a função fica:

Passo 4

Agora, fazemos a divisão polinomial para simplificar a fração. Dividindo s^2 + 2s + 1s^2 - s - 6 = 1 + 3s + 7(s - 3)(s + 2) por 1 + 3s + 7(s - 3)(s + 2) :
Então, nossa função se divide em:

Passo 5

Agora, vamos decompôr a fração 3s + 7(s - 3)(s + 2) = As - 3 + Bs + 2 em frações parciais. Queremos encontrar constantes 3s + 7 = A(s + 2) + B(s - 3) e tais que:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Vamos resolver para 3(3) + 7 = A(3 + 2) + B(3 - 3) 9 + 7 = 5A + 0 16 = 5A A = 165 e 3(-2) + 7 = A(-2 + 2) + B(-2 - 3) -6 + 7 = 0 + B(-5) 1 = -5B B = -15 . Escolhemos valores de que simplificam a equação.
Primeiro, deixe :
Agora, deixe :

Passo 7

Com os valores de 1 + 165s - 3 + -15s + 2 e 1 + 165cdot1s - 3 - 15cdot1s + 2 , nossa expressão fica:
Simplificando:

Passo 8

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo. Sabemos que:
L^-11 = deçã
L^-11s - a = e^at
Aplicando isso aos nossos termos:
L^-11 = de
L^-1165cdot1s - 3 = 165e^3t
L^-1-15cdot1s + 2 = -15e^-2t

Passo 9

Finalmente, juntamos todos os termos:
de

Resposta

A transformada inversa de Laplace unilateral da função dada é:
de

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